ПРИЛОЖЕНИЕ. Аппроксимация функций.

Аппроксимация функций.

Применение интерполяции позволяет получить функцию, совпадающую в узлах интерполяции с имеющимися эмпирическими данными, но часто такое совпадение может не означать совпадение характеров поведения исходной и интерполирующей функций на всем интервале наблюдения (например, из-за отклонений измеренных значений функции, ввиду погрешностей измерительной аппаратуры (сами значения являются приближенными) или влияния случайных факторов на процесс измерений).

Формулировка задачи аппроксимации выглядит следующим образом.

Пусть в результате измерений в процессе опыта получено табличное задание функции , тогда необходимо найти функцию заданного вида , которая в точках принимает значения, как можно более близкие к табличным . При такой формулировке задача аппроксимации функции одной переменной учитывает характер поведения функции на интервале наблюдений.

Практически вид приближающей функции чаще всего определяют путем сравнения приближенно построенного графика функции с графиками известных исследователю функций, заданных аналитически (как правило, элементарных функций) (рис.6).

Рис. 6

На рисунке 6 изображены три ситуации:

А) взаимосвязь и близка к линейной, прямая близка к точкам наблюдений, а последние отклоняются из-за небольших случайных воздействий;

Б) взаимосвязь величин и описывается нелинейной функцией, достаточно хорошо которую описывает ветка параболы;

В) явная взаимосвязь между переменными отсутствует, отклонение любой линии от точек будет велико.

Аппроксимация позволяет находить значения функции для не табличных значений , «сглаживая» результаты измерений величины .

Аппроксимация методом наименьших квадратов.

При данном методе в качестве критерия близости приближающей функции к исходной функции используется минимум суммы квадратов разностей наблюдений зависимой переменной и теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии значений : .

Рассмотрим метод нахождения приближающей функции в общем виде на примере аппроксимирующей функции с тремя параметрами:

(10)

Сумма квадратов разностей соответствующих значений имеет вид:

Задача сводится к отысканию минимума функции трех переменных . Условие экстремума функции

Система уравнений для определения неизвестных параметров имеет вид:

(11)

Нахождение аппроксимирующей функции в виде основных элементарных функций.

А) линейная регрессия

Найдем частные производные: ,

Система уравнений имеет вид:

После преобразований и введения обозначений система уравнений приобретает вид:

Где , , ,

Решив данную систему, получим значения параметров и