Диференційне рівняння теплопровідності.

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Для розв’язку задач, пов’язаних з визначенням температурного поля як функції координати та часу необхідно мати диференційне рівняння теплопровідності. В загальному вигляді для тривимірного простору за відсутності внутрішніх джерел та стоків теплоти диференційне рівняння має вигляд

де

теплоємність матеріалу,

густина матеріалу,

оператор Лапласа. Ліва частина цього рівняння (

) це швидкість зміни температури, права – (

) це швидкість зміни градієнта температури.

Якщо значення коефіцієнта теплопровідності, густини та теплоємності мало змінюються при зміні температури – можна застосувати коефіцієнт температуропровідності матеріалу

Величина температуропровідності є мірою того, як швидко відбувається вирівнювання температурного поля. Тіло з більшою температуропровідністю нагрівається або охолоджується скоріше. Коефіцієнт температуропровідності має розмірність м²/с.

Загалом диференційне рівняння теплопровідності можна прочитити як: швидкість зміни температури тіла за проміжок часу пропорційна його температуропровідності.

У випадку одновимірної задачі

і диференційне рівняння теплопровідності набуває вигляду

Диференційні рівняння теплопровідності встановлюють зв’язок між часовою та просторовою зміною температури всередині тіла. Для того, щоб знайти температурне поле всередині тіла в будь який момент часу (тобто щоб розв’язати диференційне рівняння) необхідно знати розподіл температур в початковий момент часу (початкова умова), геометричну форму тіла і закон взаємодії між оточуючим середовищем і поверхнею тіла (граничні умови).

В загальному вигляді аналітичним рішенням рівняння (16) є вираз

де C, D, A, k, B – постійні коефіцієнти, що залежать від часових та граничних умов. Часові умови бувають двох видів: початкові та кінцеві. Кінцеві умови визначають розподіл температур в тілі після закінчення нескінченого проміжку часу (тобто в стаціонарному тепловому режимі).

Граничні умови визначають характер теплообміну на поверхні теплопередаючого матеріалу. Відповідно кількість граничних умов рівна кількості поверхонь. Якщо біля всіх поверхонь однакові граничні умови то кажуть, що вини симетричні, якщо різні – несиметричні. Існує чотири види головних граничних умов:

– постійна температура на поверхні (обмурівка доменної печі – рідкий метал);

– постійний тепловий потік на поверхні (результат інфрачервоного опромінення поверхні);

– постійний коефіцієнт теплообміну (метал-повітря);

– умова ідеального контакту між сусідніми поверхнями (багатошарова стінка).

В деяких випадках всередині твердого тіла може виділятися або поглинатися теплова енергія (фільтрація повітря, випаровування вологи. адсорбція та десорбція…). Виділення теплової енергії вважається позитивним джерелом теплоти, поглинання теплової енергії вважається негативним джерелом теплоти. Якщо відома питома теплова потужність джерела теплоти W, Вт/м³ диференційне рівняння має вигляд