Расчет вала на статическую прочность

Проверку статической прочности выполняют в целях предупреждения пластических деформаций в период кратковременных перегрузок (пуск, разгон, торможение, реверсирование и т.п.)

Балка согласно нагрузке (рисунок 4.3б) рассматривается раздельно (рисунок 6.1) в горизонтальной Х и вертикальной Y плоскостях. Плоскость Х принято располагать по направлению окружных сил F_t в зацеплениях, плоскость Y – по радиальным F_r и осевым F_a силам. Консольные нагрузки ременных, цепных, открытых зубчатых передач прикладывают в виде проекций по плоскостям Х и Y. Силу муфты F _M принято располагать в плоскости Х в направлении увеличения прогибов вала от основных окружных сил F_t.

6.2.1 Ход расчета (рисунок 6.1)

1. По уравнениям статики определяют реакции опор в плоскостях Х и Y:

R _{I X} , R _{II X} , R _{I Y} , R _{II Y} .

2. Раздельно по плоскостям Х и Y строят эпюры изгибающих моментов М_Х, М_Y и эпюру вращающего момента Т.

3. Вычисляют суммарные реакции опор: R _I = (R _{I X} ² + R _{I Y} ²)^1/2;

R _II = (R _{II X} ² + R _{II Y} ²)^1/2.

Силы R _I, R _II, F_A являются внешней нагрузкой при расчете подшипников.

4. В характерных сечениях балки находят величины суммарных изгиба-ющих моментов_{_} М = (М_Х ² + М_Y ²)^1/2 (6.6)

5. Сравнивая эпюры М и Т, выбирают опасные сечения вала, в которых вычисляют мак симальные нормальные smax и касательные tmax напряжения [1, c.165]: smax = 103 M max / W + F max / A, tmax = 103 T max / WP (6.7) где M max = К П М, T max= К П Т, F max = К П FA – максимальная нагрузка при перегрузке (Н× м и Н); W и WP – моменты сопро-тивления сечения соответствен-но на изгиб и кручение, мм3; А – площадь поперечного сечения, мм2. Коэффициент перегрузки К П = (T max / Т)ДВ принимается

Рисунок 6.1 – Реакции опор R и эпюры изгибающих М и вращающих Т моментов

по характеристике электродвигателя [8, c.24].

Моменты сопротивления и площадь вычисляют по " нетто" -сечению

[1, c.166]:

а) для сплошного круглого сечения диаметром d:

W = p d ³/ 32; W_P = p d ³/ 16 (W_P = 2 W); A = p d ²/ 4; (6.8)

б) для вала с прямобочными шлицами (рисунок 3.3):

W = [p d ⁴ + bz (D – d) (D + d)²] / (32 D); W_P = 2 W; A = p d ²/4 +

+ bz (D – d) /2; (6.9)

в) для вала с эвольвентными шлицами и для вала–шестерни в сечении по зубьям см. [1, c.167 и 168];

г) для вала с одним шпоночным пазом (рисунок 3.2) по ГОСТ 23360-78 см. [1, c.168] или по формулам:

W = p d ³ / 32 - bh (2 d – h)² / (16 d);

W_P = p d ³ / 16 - bh (2 d – h)² / (16 d); A = p d ²/ 4 - bh /2 (6.10)

6. Находят коэффициенты запаса прочности по нормальным (S _s =

s_Т/s_max) и касательным (S _t = t_T / t_max) напряжениям, а также общий коэффи-циент запаса прочности по пределу текучести:

S _Т = S _s S _t / (S _s² + S _t²)^1/2. (6.11)

Статическую прочность считают обеспеченной, если S _Т ³ [ S _Т] = 1, 3...2.

6.2.2 Пример расчета статической прочности

Продолжим расчет вала по схеме, соответствующей рисунку 4.3б.

1. Горизонтальная плоскость Х (рисунок 6.1):

а) реакции опор: S m I = 0, R _{II X} = [ F_{t 1}(l ₂ + l ₃) + F_{t 2} l ₃] / l = [5225 (73 + 33) +1952× 33] /

/ 151 = 4094 H (длины l_i округлены до целого числа) R _{I X} = F_{t 1} + F_{t 2} - R _{II X} = 5225 + 1952 –

– 4094 = 3083 Н;

б) изгибающие моменты:

М_{Х 1}=10^–3 R _{II X} l ₁=10^–34094× 45 = 184 Н× м; М_{Х 2} =10^–3 R _{I X} l ₃ = 10^–33083× 33 = 102 Н× м;

2. Вертикальная плоскость Y::

а) реакции опор: S m I = 0, R _{II Y} = [ F_{r 1}(l ₁ + l ₃) + M_{a 1} + M_{a 2} – F_{r 2} l ₃] / l = [1950 (73 +

+ 33) + 10³(48 + 55) - 1537× 33] / 151 = 1715 H;

R _{I Y} = R _{II Y} + F_{r 2} – F_{r 1} = 1715 + 1537 – 1950 = 1302 Н; _{_}

б) изгибающие моменты:

М_{Y 1}=10^–3 R _{II Y} l ₁=10^–31715× 45 = 77 Н× м; М_{Y 1}' = М_{Y 1} – М_{a 1} = 77 – 48 = 29 Н× м;

М_{Y 2} =10^–3 R _{I Y} l ₃ = 10^–31302× 33 = 43 Н× м; М_{Y 2}' = М_{a 2} - М_{Y 2} = 55 – 43 = 12 Н× м.

3. Суммарные реакции опор:

R _I = (3083² +1302²) ^1/2 = 3347 Н R _II = (4094² +1715²) ^1/2 = 4439 Н.

4. Наибольшие суммарные изгибающие моменты в сечениях 1 и 2 (рисунок 6.1):

М ₁ = (М_{Х 1}² + М_{Y 1}²)^1/2 = (184² + 77²)^1/2 = 200 Н× м;

М ₂ = (М_{Х 2}² + М_{Y 2}²)^1/2 = (102² + 43²)^1/2 = 111 Н× м.

5. Проверку прочности производим в обоих опасных сечениях:

а) сечение 1 - зубья шестерни z _1Т (z ₁ = 26, m = 3 мм). Согласно [1, c.167]

W = 2 J / d_{a 1}, где d_{a 1} = d ₁ + 2 m = 80 + 2× 3 = 86 мм – диаметр вершин зубьев; J = pd _Jd ₁⁴ / 64

(d ₀ = 0 – диаметр центрального отверстия – отсутствует) – момент инерции шестерни; d _J – поправка по графикам [1, c.167, рис.10.14а]: при z ₁ = 26 и х = 0 d _J = 0, 98; W_P = 2 W;

A = pd _Sd ₁² / 4, где поправка d _S по графикам [1, c.167, рис.10.14б] при z ₁ = 26 и х = 0

d _S = 0, 97. Тогда J = p× 0, 98× 80⁴/ 64 = 1, 97× 10⁶ мм⁴; W = 2× 1, 97× 10⁶ / 86 = 2, 29× 10⁴ мм³;

W_P = 2× 2, 29× 10⁴ = 4, 58× 10⁴ мм³; А = p× 0, 97× 80²/ 4 = 48, 8× 10² мм².

Коэффициент перегрузки К _П = 2, 5 (по паспорту электродвигателя). Максимальная нагрузка при перегрузке: М _max = 2, 5× 200 = 500 Н× м; Т _max = 2, 5× 209 = 522, 5 Н× м;

F _max = 2, 5× 681 = 1703 Н.

Напряжения по формулам (6.7):

s_max = 10³× 500 / (2, 29× 10⁴) + 1703 / (48, 8× 10²) = 22, 2 МПа;

t_max = 10³× 522, 5 / (4, 58× 10⁴) = 11, 4 МПа.

Коэффициенты запаса прочности при s_Т = 750 МПа и t_Т = 0, 58s_Т = 435 МПа:

S _s = 750 / 22, 2 = 33, 8; S _t = 435 / 11, 4 = 38, 2; S _Т = 33, 8× 38, 2 / (33, 8² + 38, 2²)^{1/ 2} = 25, 3 > >

> > [ S _Т] = 1, 3...2.

Статическая прочность вала в сечении 1 при перегрузке обеспечмвается;

б) сечение 2 – посадка колеса z _2Б с натягом, без шпонки; d = 40 мм – вал сплошной. По формулам (6.8) имеем: W = p× 403 / 32 = 6, 28× 10³ мм³, W_P =2 W = 2× 6, 28× 10³ = 12, 56× 10³ мм³, А = p× 40²/ 4 = 12, 56× 10² мм². Нагрузка при перегрузке: М _max = 2, 5× 111 = 500 Н× м; Т _max = 2, 5× 209 = 522, 5 Н× м; F _max = 2, 5× 681 = 1703 Н.

Напряжения по формулам (6.7):

s_max = 10³× 277, 5 / (6, 28× 10³) + 1703 / (12, 56× 10²) = 45, 6 МПа;

t_max = 10³× 522, 5 / (12, 56× 10³) = 41, 6 МПа..

Коэффициенты запаса прочности: S _s = 750 / 45, 6 = 16, 4; S _t = 435 / 41, 6 =

10, 5; S _Т = 16, 4× 10, 5 / (16, 4² + 10, 5²)^{1/ 2} = 8, 84 > [ S _Т] = 1, 3...2.

Статическая прочность вала в сечении 2 при перегрузке обеспечивается.

На рисунке 6.2 в качестве примера для самостоятельного изучения приведены расчетные схемы и эпюры моментов на валах редуктора с раздвоенной быстроходной ступенью и шевронной тихоходной ступенью.