С учетом (3.6) формулу (3.2) можно записать в виде плоской волны

, (3.10)

соответствующей частице, имеющей импульс и энергию .

Фазовая скорость волны де Бройля частицы, масса которой , свободно движущейся со скоростью ,

, (3.11)

где – энергия частицы, – круговая частота; – импульс, - волновое число.

Групповая скорость волнового поля частицы

. (3.12)

В классической механике состояние частицы в каждый момент времени характеризуется ее положением в пространстве (то есть координатами) и импульсом. Мгновенное состояние микрочастицы, обладающей волновыми свойствами, нельзя характеризовать точными значениями координат и импульса. Для решения вопроса о локализации частицы, движущейся в потенциальном поле, функцию ее состояния можно представить волновым пакетом. Если при движении частицы вдоль оси OX длина волнового пакета равна , то волновые числа , необходимые для его образования, не могут занимать сколь угодно узкий интервал . Минимальная ширина интервала должна удовлетворять соотношению

или, после умножения на ,

. (3.13)

Аналогичные соотношения выполняются и для волновых пакетов, распространяющихся вдоль осей OY и OZ:

(3.14)

Соотношения (3.13), (3.14) называют соотношениями неопределенностей Гейзенберга (или принципом неопределенности). В соответствии с этим фундаментальным положением квантовой теории любая физическая система не может находиться в состояниях, в которых координаты ее центра инерции и импульс одновременно принимают вполне определенные, точные значения.

Ввиду малости по сравнению с макроскопическими величинами той же размерности действия соотношения неопределенностей существенны в основном для явлений атомных и меньших масштабов и не проявляются в опытах с макроскопическими телами.

Несколько иной смысл имеет соотношение неопределенностей для энергии и времени :

. (3.15)

Если система находится в стационарном состоянии, то из соотношения неопределенностей следует, что энергию системы даже в этом состоянии можно измерить лишь с точностью, не превышающей , где – длительность процесса измерения. Соотношение (3.15) справедливо также, если трактовать как неопределенность значения энергии нестационарного состояния замкнутой системы, а - как характерное время, в течение которого существенно изменяются средние значения физических величин в этой системе.

Возбужденные состояния атомов, молекул, ядер нестабильны. Из соотношения неопределенностей (3.15) вытекает, что энергия этих микрообъектов в возбужденных состояниях не может быть строго определенной, то есть возбужденные энергетические уровни обладают некоторой естественной шириной , где – время жизни возбужденного состояния.

Из соотношений неопределенностей следует вывод о том, что в квантовой механике теряет смысл деление полной энергии на кинетическую и потенциальную, так как они выражаются через величины (соответственно через импульсы и координаты), которые не могут одновременно иметь определенные (точные) значения. Энергия должна определяться и измеряться лишь как полная энергия, без деления на кинетическую и потенциальную.

Вопросы для самоконтроля

1 Сущность гипотезы де Бройля.

2 Как определяются фазовая и групповая скорости волны де Бройля и её длина волны?

3 Какова физическая интерпретация волн де Бройля?

4 Что выражают соотношения неопределенности?

5 Каковы экспериментальные подтверждения гипотезы де Бройля?

Задачи

1 Найдите длину волны де Бройля электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.

2 С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля электрона равна его комптоновской длине волны ?

3 Электрон движется по окружности радиусом 0, 5 см в однородном магнитном поле, индукция которого В = 8 мТл. Определите длину волны де Бройля электрона. Как изменится ответ, если электрон заменить протоном?

4 Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношения неопределенностей, оцените минимальные линейные размеры атома.

5 Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов = 0, 5 кВ. Принимая, что неопределенность импульса равна 0, 1 % от его числового значения, определите неопределенность координаты электрона. Являются ли в данных условиях электроны квантовой или классической частицей?

6 Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определите естественную ширину спектральной линии излучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии принять равным 10^-8 с, а длину волны излучения – равной 600 нм.

7 Волновой «пакет» образован двумя плоскими монохроматическими волнами: , . Определите фазовые скорости каждой волны и групповую скорость волнового «пакета».

8 Определите длину волны де Бройля, характеризующую волновые свойства электрона, если его скорость = 1 Мм/с. Сделайте такой же расчет для протона.

9 Определите длину волны де Бройля электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 700 кВ.

10 Определите импульс и энергию: 1) рентгеновского кванта; 2) электрона, если длина волны каждого из них равна 10^{-10 м.}

11 Определите длину волны де Бройля для нейтрона, движущегося со средней квадратичной скоростью при Т = 290 К.

12 Один из способов монохроматизации медленных нейтронов состоит в следующем. В цилиндре радиуса = 10 см и длина = 1, 0 м делают винтовой паз шириной = 1 см с поворотом на угол = 30° (рисунок 3.2). Цилиндр вращается с частотой = 3000 мин^-1. Определите длину волны нейтронов, проходящих через описанный монохроматор, и оцените степень монохроматизации. Пучок нейтронов падает на цилиндр параллельно его оси.

13 Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов 500 В, имеет длину волны де Бройля 1, 282 пм. Принимая заряд этой частицы равным заряду электрона, определите ее массу.

14 На какой высоте Н надо поместить поглотитель относительно источника для обнаружения красного смещения общей теории относительности? Используется эффект Мёссбауэра на изотопе . Время жизни возбужденного уровня с энергией Е = 93 кэВ равно = 10^-5 с. Считайте, что для достижения необходимой точности эффект смещения должен превышать ширину Г линии резонансного поглощения в 10 раз.

15 Параллельный пучок атомов, находящихся в одинаковом возбужденном состоянии, движется вдоль оси вакуумной трубки со скоростью = 10⁸ м/с. В стенках сделаны окошки для регистрации излучения атомов в зависимости от пути, пройденного пучком в трубке.

Результаты измерений изображены на рисунке 3.3. (По оси абсцисс отложено расстояние, пройденное пучком вдоль трубки, отсчитанное от первого окошка, а по оси ординат – натуральный логарифм отношения интенсивности света к интенсивности света, измеренной детектором, расположенным в первом окошке.) Определите естественную ширину линии, которая соответствует излучению атомов пучка.

16 В опыте Девиссона и Джермера, обнаруживших дифракционную картину при отражении пучка электронов от естественной дифракционной решетки – монокристалла никеля, оказалось, что в направлении, составляющем угол 55° с направлением падающих электронов, наблюдается максимум отражения четвертого порядка при кинетической энергии электронов Т = 180 эВ. Определите расстояние между кристаллографическими плоскостями никеля.

17 Моноэнергетический пучок нейтронов, получаемых в результате ядерной реакции, падает на кристалл с периодом кристаллической решетки d = 0, 15 нм. Определите скорость нейтронов, если брэгговское отражение первого порядка наблюдается, когда угол скольжения равен 30°.

18 Параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью 1 Мм/с, падает нормально на диафрагму с длинной щелью шириной 1 мкм. Проходя через щель, электроны рассеиваются и образуют дифракционную картину на экране, расположенном на расстоянии 50 см от щели и параллельном плоскости диафрагмы. Определите линейное расстояние x между положениями минимумов первого порядка.

19 Ширина следа электрона (кинетическая энергия его 1, 5 кэВ), полученного на фотопластинке с применением камеры Вильсона, составляет 1 мкм. Определите, можно ли по данному следу обнаружить отклонение в движении электрона от законов классической механики.

20 Определите отношение неопределенностей скорости электрона, координата которого установлена с точностью до 10^{-5 м, и пылинки массой 10-12 кг, если ее координата установлена с такой же точностью.}

21 Электронный пучок выходит из электронной пушки, ускоренный разностью потенциалов 200 В. Определите, можно ли одновременно измерить параметры траектории электрона с точностью до 100 пм (с точностью порядка диаметра атома) и его скорость с точностью до 10 %.

22 Принимая, что электрон находится внутри атома диаметром 0, 3 нм, определите (в электрон-вольтах) неопределенность энергии этого электрона.

23 Покажите, используя соотношения неопределенностей, что в ядре атома не могут находиться электроны.

24 Оцените относительную ширину спектральной линии, если известны время жизни атома в возбужденном состоянии ( с) и длина волны излучаемого фотона ( = 0, 6 мкм).

25 Оцените кинетическую энергию нуклона в ядре атома углерода. Диаметр ядра равен приблизительно м.

26 Кажется, что путем измерения отдачи зеркал интерферометра Майкельсона можно определить, будет ли фотон, связанный с волновым цугом, отражаться от одного или другого из них. Используя соотношения неопределенностей, покажите, что такое измерение невозможно.

27 Исходя из соотношения неопределенностей между импульсом частицы и соответствующей координатой, оцените энергию атома водорода в основном состоянии.