Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Полные и неполные нормированные пространства.




Пусть Х- нормированное пространство с нормой || . || счётное, упорядоченное мн-во элементов {Xn}от 1 и до ∞, или {Xn}будем называть последовательностью если выбраны некоторые члены последовательности {Xnk}то получим последовательность, называющуюся подпоследовательностью.

Понятие нормы(а значит и метрики)позволяет определить сходимость последовательности, как известно из анализа, если численная последовательность удовлетворяет условию Коши, то она сходится(критерии сходимости), однако в ФАНе эти понятия разделяются.

Опр 4.1 Последовательность {хn}Є х сходящаяся к элементу хo Є Х (хn→ хo при n→ ∞),если || хn- хo ||→0 при n→ ∞ bn = || хn- хo ||.

Данное определение принимается за основное и допускает эквивалентную переформулировку:

При любом ε>0 сущ-ет N=N(ε) такой что u >= N для всех элементов || хn- хo || < ε для сход-ся послед-ей норм. пр-ва сост.основным аналогом о сходимости:

1)если последовательность сх-ся то предельный элемент один.

2)если последовательность сх-ся то любая её последовательность сх-ся к этому же элементу.

3)над сх-ся последовательностью можно производить элементарные алгебр.действия.

(хn→хo и уn →уo ≥ хn± уn ; λn→λ и хn→хo, то λn* хn→λo* хo)

Опр 4.2 Посл-сть {хn} фундаментальная если для любого произв.фикс. р || хn+р- хo ||→0.

Р! След. нерав-во || хn+р- хo || = || (хn+р- хo)+( хo - хn )||≤ || хn+р- хo ||+|| хn- хo ||.

Из сходимости следует фундаментальность, обратное- не верно.

Опр 4.3 Пусть пространство Х такое, что в нём любая фунд. посл-ть сх-ся к элементу данного пространства, тогда пр-во полное или Банаховое.

Банохово пр-во обладает рядом свойств классического нормированного пространства. Для известных норм. пр-в, норма определяет определённый вид сходимости , который можно охарактеризовать в терминах данного пространства.

Rn-линейное пр-во x=(x1,x2…xn) относительно любых из след. норм:

1) || х ||1=| x1|+ | x2|+…+| xn|=Σ(от i=1 до n) |xi|.

2) || х ||2=( Σ(от i=1 до n) |xi| ) ,1<p<∞

3) || х ||3=max{| x1|+ | x2|+…+| xn|}=max|xi|

Примеры неполного норм.пр-ва.

Для построения примера неполного пр-ва достаточно на полн. пр-ве определить норму и в полученой норм. пр-ве доказать существование хотя бы 1 послед-ти, которая явл. фундаментальной по этой норме не сх-ся к элементам этого пространства,в качестве лин-го пр-ва фун-ии и для определённостей.

Пространство С[-1;1] с нормой || х ||= является не полным нормированным пространством.



mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2019 год. (0.004 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал