Расчет рамы на устойчивость с учетом симметрии

Первый из основных способов учета симметрии системы оcнован на использовании групповых основных неизвестных, когда осуществляется переход от исходных неизвестных узловых перемещений Z к новым – групповым – неизвестным , часть из которых представляют собой симметричные обобщенные перемещения , а другая часть – это обратносимметричные (иначе – кососимметричные, антисимметричные) групповые перемещения :

= =

где h – квадратная невырожденная () матрица линейного преобразования вектора Z в вектор .

После введения групповых неизвестных расчет выполняется так же, как с исходными неизвестными: система канонических уравнений метода перемещений имеет вид а уравнение устойчивости – .

,

компоненты которой представляют собой обобщенные (групповые) силовые факторы по направлениям групповых неизвестных , имеет нулевые блоки = = 0 (здесь – матрица симметричных составляющих реакций введенных связей от обратносимметричных единичных смещений = 1; – матрица обратносимметричных составляющих реакций введенных связей от симметричных единичных смещений = 1). Вследствие этого полная система уравнений распадается на независимые части и , первая из которых описывает симметричные формы потери устойчивости, а вторая – обратносимметричные. Вследствие этого уравнение устойчивости также распадается на два независимых – и , дающих два значения критического параметра нагрузки – и для симметричной и обратносимметричной формсоответственно.

F F

Рис. 3.9

Для рамной системы, обладающей симметрией геометрии, структуры, упругих свойств и нагрузок, схема которой приведена на рис. 3.9, основная система с негрупповыми неизвестными

Z = [ Z ₁... Z ₆ ]^T представлена на рис. 3.10, а, а с групповыми неизвестными = [ ]^T и = [ ]^T – на рис. 3.10, б.

а) F Z 3 Z 2 F

б)

Рис. 3.10

Отметим, что основная система совершенная (локальные формы потери устойчивости невозможны).

Матрица преобразования имеет вид

На рис. 3.11 показаны два из шести единичных состояний основной системы – одно симметричное и одно обратносимметричное, а также соответствующие эпюры изгибающих моментов.

Эпюры криволинейны только на вертикальных сжато-изогнутых элементах, а в пределах горизонтальных стержней, где , эпюры линейные. Особенностью единичных состояний

является то, что реакции по направлениям групповых неизвестных – это обобщенные силы (в рассматриваемом случае – пары

F F F F     3i 1 3i 1 2i 1

F F   k = 6   М6

Рис. 3.11

моментов /2). Определяя обычными способами, составляем и решаем два независимых уравнения устойчивости для симметричной и обратносимметричной форм. Далее расчет выполняется по общему алгоритму.

Другие примеры расчетов на устойчивость симметричных систем разных типов (многопролетных стержней, ферм, рам, арок) с использованием групповых неизвестных приведены в [9].

Второй способ расчета симметричных систем заключается в том, что система рассекается по линии симметрии, после чего одна из половин отбрасывается с компенсацией введением по линии симметрии связей, соответствующих ожидаемой форме потери устойчивости (симметричной или обратносимметричной) и моделирующих влияние отброшенной части. Далее рассчитывается уже половина системы. В случае, когда невозможно заранее предсказать, какая форма потери устойчивости опаснее – симметричная или обратносимметричная, расчет половины системы выполняется дважды – с разными связями по линии симметрии.

F F а) u = 0 F F     в) Z 2 F F F Z 1 Z 3 F г)

F F v = 0 б) F v = 0 F     д) Z 6 Z 5 F F Z 4 F F е)

Рис. 3.12

На рис. 3.12, а, б изображены симметричная и обратносимметричная формы потери устойчивости системы, уже рассматривавшейся выше с применением групповых неизвестных. На схемах обозначены кинематические граничные условия на линии симметрии (u, v – соответственно горизонтальное и вертикальное перемещения сечения, q - угол поворота), исходя из которых выбираются связи, моделирующие влияние отбрасываемой правой половины системы (см. рис. 3.12, в, д). На рис. 3.12, г, е приведены основные системы, каждая из которых далее рассчитывается обычным порядком, в результате чего определяются критические значения параметра нагрузки для симметричной и обратносимметричной форм.

Второй способ привлекателен тем, что при таком же (как правило) числе неизвестных, как в первом способе, приходится иметь дело лишь с половиной системы, что снижает трудоемкость технической части решения (упрощается изображение расчетных схем, единичных эпюр и т.д.).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое устойчивость? В каком случае равновесие тела (сооружения, конструктивного элемента) устойчивое? неустойчивое? безразличное? (64)^*)

2. Что такое потеря устойчивости? Почему понятие «потеря устойчивости сооружения» не вполне корректно? К чему следует относить термин «потеря устойчивости»? (65)

3. Каков общий принцип исследования качества равновесия системы? (65)

4. Что такое критический параметр нагрузки (воздействия)? (4)

5. Дайте определение бифуркации форм равновесия. В каких системах возможна бифуркация? (67)

6. Что представляет собой потеря устойчивости второго рода?

(66)

7. Какой вид имеют графики равновесных состояний при потере устойчивости первого и второго рода? (67, 70, 72, 75)

8. Какой род потери устойчивости имеет место в реальных со­оружениях? (71, 72)

9. Что общего у бифуркационной потери устойчивости и потери устойчивости второго рода ичем они отличаются? (66)

10. Как влияют несовершенства системы и загружения на крити­ческую нагрузку второго рода? К чему стремится предельная нагрузка при уменьшении несовершенств до нуля? (72, 75)

11. Сформулируйте основные задачи расчета системы на устойчивость. (71)

12. Какие существуют основные методы расчета сооружений на устойчивость, в чем их сущность? (4, [ 1, c.209 ])

13. Перечислите предпосылки линейной теории устойчивости. Какие из них определяют идеальную систему, и какие обеспечивают линеаризацию задачи? (5–8, 68–70)

14. Укажите предпосылки, специфические для рас­чета на устойчивость методом перемещений. (5, 7, 8)

15. Что принимается за основные неизвестные в расчете стержневой системы на устойчивость методом перемещений? (9)

16. Каким требованиям должны удовлетворять нагрузки? Какие нагрузки называются параметрическими и почему? (7, 68, 69)

17. Как определить начальные продольные силы в стержнях?

(7, 35)

18. Как получается основная система метода перемещений в расчетах на устойчивость и в чем ее принципиальные особенности в сравнении c ОСМП при расчете на прочность? (9, 10)

19. Объясните физический смысл канонических уравнений метода перемещений и их членов в случае расчета на устойчивость. Чем они отличаются от уравнений при расчете на прочность?

(10–12)

20. Какими способами можно определять единичные реакции r_ik?

(12)

21. Каким путем получены выражения специальных функций метода перемещений для сжато-изогнутых стержней? (14)

22. Что такое тривиальное и нетривиальное решения канонических уравнений, каков их физический смысл? (15–17)

23. Как получается уравнение устойчивости по методу перемещений, и каков его физический смысл? (15–17)

24. Что является аргументом в уравнении устойчивости? (15, 20)

25. Сколько корней имеет уравнение устойчивости? Какие из них представляют практический интерес и почему? В каких пределах находится значение минимального корня уравнения устойчивости? (21, 22, 25)

26. Что такое спектр критических нагрузок и как они определяются? Всегда ли нагрузка, соответствующая минимальному корню уравнения устойчивости, является истинной критической нагрузкой? (21, 23)

27. Что называется общей потерей устойчивости системы? (16)

28. Что такое локальная (местная) потеря устойчивости? (16)

29. Что такое форма потери устойчивости? (17)

30. Какие формы потери устойчивости называются явными, а какие – скрытыми? Может ли форма общей потери устойчивости быть скрытой? а локальная форма? (17, 18)

31. Объясните различие между совершенной, несовершенной и ложной основными системами. (19, 20, 23)

32. Как исследуются скрытые формы потери устойчивости при несовершенной основной системе? (23, 24, 43)

33. Почему не удается определить числовые значения основных неизвестных при критической нагрузке? Какими параметрами описывается форма потери устойчивости? (26, 27)

34. Что такое собственный вектор перемещений и как он вычисляется? В каком случае собственный вектор не может быть найден? (27, 28, 44)

35. Что такое приведенная длина сжатого элемента? Чему рав­ны значения коэффициента приведения длины для основных случаев закрепления концов равномерно сжатого стержня постоянного сечения? (24)

36. Как определить коэффициент приведения длины элемента при работе его в составе системы, если известно критическое значение ведущего параметра n_cr? (24, 45)

37. Изложите общий алгоритм расчета на устойчивость методом перемещений. (28)

38. Что является характерным для потери устойчивости симметричных систем? (50)

39. Что дает использование групповых неизвестных в расчете на устойчивость симметричной системы? Каковы при этом особенности канонических уравнений и уравнения устойчивости? Что представляют собой единичные реакции , соответствующие групповым неизвестным, и как они определяются? (49–52)

40. Изложите способ расчета симметричных систем, в котором не применяется группировка неизвестных. (52)