Теории устойчивости сооружений

Теория устойчивости сооружений – раздел строительной механики, в котором рассматриваются принципы и методы расчета деформируемых систем на устойчивость.

Устойчивость деформируемой системы (сооружения, конструкции, элемента) – это свойство сохранять требуемую форму равновесия при заданных воздействиях и проявлять тенденцию возвращаться к ней полностью или частично после устранения малого (в принципе – бесконечно малого) возмущения, вызвавшего отклонение от рассматриваемого положения равновесия.

факторов и перемещений

сечений элементов.

Возмущающее воздействие может быть реальным (при натурном или экспериментальном исследовании устойчивости сооружения, конструкции) или гипотетическим (в теоретическом решении задачи), а по физической природе – силовым или кинематическим (сосредоточенным или распределенным, статическим или динамическим), но обязательно малым. Теоретически возмущающий фактор должен быть бесконечно малым, а практически – как минимум на два порядка меньше соответствующей по смыслу величины, вызванной заданным воздействием.

Качество равновесия – характеристика равновесного состояния системы, отражающая реакцию (отклик) системы на малое возмущение.

Качественно равновесие системы может быть: а) устойчивым, б) неустойчивым, в) безразличным.

Равновесие называется устойчивым, если после малого его возмущения и прекращения действия возмущающего фактора сооружение стремится вернуться в исходное положение пол-

необратимых деформаций)

или частично (при развитии

пластичности).

Неустойчивым называется такое равновесие, после малого возмущения которого с последующим устранением возмущающего фактора система приходит в движение, безвозвратно удаляясь от исходного положения.

Безразличное равновесие – это такое равновесие системы, после выведения из которого малым возмущением, прекра-щающим затем действовать, система остается в отклоненном состоянии, не проявляя тенденции ни возвращаться в исходное положение, ни удаляться от него.

Таким образом, задание малого возмущения равновесного состояния системы при заданном воздействии (образно говоря, «испытание» равновесия малым отклонением) является общим методологическим принципом исследования качества равновесия. В теории устойчивости он называется принципом малых возмущений.

высоком уровне воздействия.

Потеря устойчивости равновесного состояния – изменение качества равновесия (утрата устойчивости, превращение в безразличное или неустойчивое).

В практических расчетах сооружений и конструкций термин «потеря устойчивости» условно принято использовать и применительно к самой системе, хотя теоретически это некорректно.

Критическое состояние системы – ее деформированное состояние, в котором исходная форма равновесия перестает быть устойчивой (происходит потеря устойчивости этой формы).

Критический параметр воздействия – см. Введение.

форм равновесия – возникновение

возможности существования при критическом значении параметра воздействия минимум двух форм равновесия – исходной и некоторой качественно новой, отличающейся от первоначальной формы тем, что в ней появляется некоторый вид деформации, отсутствовавший в докритических состояниях системы.

Потеря устойчивости первого рода – это потеря устойчивости исходной формы равновесия системы при бифуркации форм.

Потеря устойчивости второго рода – явление, характеризуемое тем, что в критическом состоянии системы исходная форма равновесия становится неустойчивой, но новой формы равновесия не воз­никает.

Явления потери устойчивости 1-го и 2-го рода обладают как принципиально общими чертами, так и важными отличиями:

– общее для них то, что в обоих случаях при критическом воздействии исходная форма равновесия утрачивает устойчивость;

– различие же состоит в том, что при потере устойчивости 1-го рода в критическом состоянии на смену исходной форме равновесия приходит новая (которая может даже быть устойчивой), а в случае потери устойчивости 2-го рода новой формы равновесия не возникает, но начинается движение с быстро увеличивающимися перемещениями и существенным формоизменением.

Системы, которым свойственна потеря устойчивости 1-го рода (бифуркационная), называются идеальными (идеализированными). Признаки их будут сформулированы ниже.

Для иллюстрации описания свойств и поведения деформируемых систем в аспекте устойчивости используются графики равновесных состояний, отражающие зависимость между параметром воздействия (нагрузки) и характерным параметром (чаще всего – перемещением D), оценивающим отклонение системы от начального положения.

На рис. П.1, а представлен график равновесных состояний идеальной стержневой системы.

весие) – последний случай не-

характерен для деформируемых

систем*).

		F

C B а)               Fcr     A 1 б)               D       Рис. П.1

F   Рис. П.2 Направление отклонения и, следовательно, знак перемещения D может быть любым, поэтому наряду с ветвью А 1 С (D > 0) у графика существует и ветвь А 1 С * при D < 0 (см. рис. П.1, б). Если на ветвях изобразить стрелки, указывающие

путь деформирования при увеличении F, то график приобретает характерный вид, из-за которого он получил выразительное название «трезубец бифуркации». В общем случае он несимметричен, однако для отыскания точки А ₁ это не имеет значения, поэтому обычно изображается только правая половина, где D > 0. Заметим также, что точек бифуркации может быть несколько (и даже бесконечно много!), но практический интерес представляет, как правило, только первая – низшая, отвечающая наименьшему значению F_cr.

Разница между системами, имеющими графики различных видов (по рис. П.1 или П.2), состоит в том, что исходная форма равнове­сия первых при F = F_cr теоретически еще устойчива, а вторых – уже неустойчива. Точка бифуркации А ₁ в первом случае принадлежит области устойчивости, а во втором – неустойчивости (области неустойчивости на рисунках отмечены крестиками). Однако, исходя из того, что при небольших отклонениях Dоба графика практически горизонтальны, считают, что при F = F_cr начальная форма перестает быть устойчивой, и любое малое возмущение переводит систему в новое – без­различное состояние равновесия.

Далее рассмотрим признаки идеальной системы.

Идеальной системой, как следует из ее определения, является такая, для которой можно обнаружить как минимум одну форму равновесия, альтернативную исходной, с качественно иными статическими и кинематическими характеристиками (видом деформированного состояния). Очевидно, что при этом должны учитываться одновременно и структурно-геометрические характеристики системы (в том числе жесткостные), и воздействия на нее.

Например, если плоская стержневая система произвольно загружена в своей плоскости, то ее элементы изначально находятся в условиях сжатия (растяжения) с изгибом, т.е. имеет место общий случай сложной деформации в плоскости. Альтернативой может быть только пространственная деформация – при этом принципиально новыми, отсутствующими в исходном состоянии, видами деформации являются кручение и изгиб из плоскости системы. Однако если плоская система и ее загружение симметричны, то альтернативой исходному симметричному деформированию может быть возникновение обратносимметричных перемещений в той же плоскости. При этом возможность бокового выпучивания тоже существует, как и в вышеупомянутом общем случае, поэтому исследованию подлежат уже два варианта потери устойчивости.

Важным для расчетов строительных конструкций случаем является безмоментное исходное состояние системы – с осевым сжатием и растяжением стержневых элементов – прямых (фермы, рамы) или криволинейных (арки с рациональным очертанием оси – например, параболическая арка при равномерно распределенной вертикальной нагрузке). При этом альтернативными формами являются: 1) деформирование в плоскости с продольно-поперечным изгибом элементов; 2) выпучивание из плоскости с пространственным продольно-поперечным изгибом и кручением.

Упомянем также некоторые примеры бифуркационных задач расчета устойчивости более сложных, чем стержневые, пластинчато-оболочечных систем с безмоментным исходным состоянием: сферическая или круговая цилиндрическая оболочка под внешним равномерным гидростатическим давлением; плоское напряженное состояние пластинки, загруженной в срединной плоскости.

нулю соответствующих ста-

тико-кинематических харак-

теристик возможных альтер-

нативных форм равновесия (пример – условие безмоментности).

Воздействия, удовлетворяющие указанному условию, в исследовании альтернативного равновесного состояния играют роль исходных параметров системы, наряду с ее структурными, геометрическими и жесткостными характеристиками. Поэтому такие воздействия (в том числе силовые, т.е. нагрузки) называются параметрическими.

Математическим признаком параметрического воздействия является то, что его характеристика присутствует в операторе (дифференциальном или матричном) уравнений, описывающих возмущенное состояние системы, иначе говоря, входит в коэффициенты при неизвестных в этих уравнениях.

Общей математической особенностью решения задач потери устойчивости первого рода является однородность уравнений, которыми описывается альтернативное равновесное состояние. Следовательно, в бифуркационных задачах устойчивости все воздействия – только параметрические.

выражение кривизны оси при искрив-

лении в плоскости ХОУ

получается източного уравнения

при < < 1.

Таким образом строится расчетная модель идеальной геометрически линейной системы, равновесные состояния которой описываются графиком, приведенным на рис. П.3. Эта

модель является основой линейной теории устойчивости, принципиаль-ными особенностями которой являются: 1) бифуркационная постановка задачи устойчивости, и как следствие этого – однородность уравнений, которыми описывается возмущенное состояние системы (результат идеализации системы);

F   Рис. П.З   D

2) линейность уравнений (причина –

использование линеаризованных геометрических соотношений).

Применение линейной теории во многих случаях оказывается практически оправданным, так как удается сравнительно просто получить приемлемое по точности решение основных задач расчета сооружения на устойчивость.

Основными задачами расчета системы на устойчивость являются:

1) определение критического параметра воздействия;

2) выявление формы потери устойчивости, т.е. вида деформированной системы в критическом состоянии (в случае бифуркации – в альтернативном равновесии);

3) нахождение коэффициентов приведения длины m и приведенных (эффективных, расчетных) длин l ₀ = m l элементов с учетом их совместной работы в составе системы.

Решение первой задачи позволяет оценить запас устойчивости сооружения (конструкции) при заданной нагрузке – проектной или реально действующей.

Знание формы потери устойчивости помогает в выборе наиболее эффективных конструктивных мер повышения устойчивости системы (так, усиление элементов или введение дополнительных связей целесообразно выполнять в тех ее частях, где перемещения и деформации наибольшие).

И, наконец, с помощью найденных коэффициентов приведения длины m и расчетных длин l ₀ оказывается возможным выполнять поэлементную проверку стержней на устойчивость по нормативной методике «Строительных норм и правил» (СНиП) с использованием коэффициента продольного изгиба j, зависящего от гибкости стержня l = l ₀ / r (здесь r – радиус инерции сечения).

Комментарий относительно практической значимости результатов расчета на устойчивость дан на стр. 24.

Свойст­ва идеальных систем могут заметно отличать­ся от свойств реальных сооружений. Последние всегда имеют ряд несовершенств (в первую очередь геометрических), нагрузки могут быть достаточно сложными (в частности, для рамных систем не обеспечивается безмоментность исходного равновесия), а достижение предельной несущей способности сопровождается развитием пластических деформаций. В силу этого поте­ря устойчивости первого рода в принципе невозможна для реальных сооружений. Им свой­ственна потеря устойчивости второго рода.

Типичный график равновесных состояний системы (рис. П.4, а) с геометрическими несовершенствами (начальная погибь стойки со cтрелой f ₀) и с неузловой нагрузкой (e ₀ – смещение нагрузки от узла) показан нa pиc. П.4, б^*).

называемой предельной точкой

или критической точкой

второго рода – отвечает наи-

большая нагрузка F_ult, которую может выдержать система. Она называется предельной нагрузкой или критической нагрузкой второго рода, определяемой из условия

dF/d D = 0.

e0 а)

F Предельная точка (критическая точка 2-го рода) б)

Рис. П.4

В заключение подчеркнем, что не следует путать устойчивость и прочность – это принципиально разные свойства сооружений. Именно поэтому соответствующие расчеты существенно различны, причем в случае использования единой расчетной схемы исследование устойчивости обычно оказывается более сложным ^**). Тем не менее,

**) Для понимания этого достаточно сопоставить предписываемые СНиП проверки центрально сжатого стержня на прочность и устойчивость – соответственно по формулам | N | / A Rc и | N | / A j Rc. Для определения входящего во вторую из них коэффициента продольного изгиба j нужно использовать коэффициент приведения длины m, который в общем случае находится дополнительным расчетом сжатого стержня на устойчивость.

проектирования строи-

тельных конструкций

(СНиП) исчерпание проч-

ности и потеря устойчи-

вости относятся к одному

и тому же расчетному предельному состоянию – по несущей способности. Это можно объяснить тем, что последствия обоих указанных явлений могут быть одинаково фатальными. Правда, теоретически возможна потеря устойчивости с сохранением прочности (и это иногда используется в современных конструкциях, где некоторые элементы могут работать в закритической стадии) и наоборот – потери устойчивости может не быть, а прочность уже исчерпана (пример – разрушение центрально растянутого стержня из хрупкого материала). Практически же, как правило, потеря устойчивости сопровождается возникновением значительных перемещений, и, в конце концов, происходит исчерпание прочности в закритической стадии деформирования.

Но и само явление разрушения конструктивного элемента может быть истолковано как потеря устойчивости процесса деформирования. Так, образование «шейки» на растягиваемом стержне из пластичного материала можно рассматривать как бифуркацию форм (на смену равномерному распределению деформаций по длине элемента приходит равновесие с деформациями, локализованными преимущественно на некотором участке). И далее, переходя на микроуровень, возможно и текучесть пластического материала, и разрушение описать с позиций устойчивости равновесия между силовыми воздействиями на материал и внутренними силами взаимодействия между его материальными частицами. Понятно, что это требует совсем иной – более «тонкой» – детализации расчетных моделей.

Заметим также, что при углубленном подходе удается выявить дополнительные общие черты явлений потери устойчивости 1-го и 2-го рода, кроме тех принципиальных, которые были указаны выше. Определенное сходство математических процедур отыскания критических параметров воздействий в задачах этих двух типов дает основание считать, что и потерю устойчивости второго рода можно трактовать с позиций бифуркации, исходя из возможности возникновения в неидеальных системах смежных форм равновесия (правда, не обладающих качественными отличиями от исходной формы).

Этот комментарий приведен для того, чтобы обратить внимание читателя на необходимость более широкого взгляда на проблему устойчивости деформируемых систем. Добавим, что кроме устойчивости равновесия сооружений, практическое значение имеет и устойчивость их движения (динамическая устойчивость), например при аэродинамических колебаниях высотных объектов и большепролетных мостов, но это – предмет особого изучения.

Содержательное и глубокое изложение принципиальных вопросов теории устойчивости сооружений дано в учебнике [5].

Строгое решение задачи исследования устойчивости сооружения в общем случае требует учета всех видов нелинейностей – конструктивной, физической и геометрической.

нейность не случайно на-

звана первой – ее учет в

расчетах на устойчивость

обязателен, так как, в

соответствии с принципом

малых возмущений, все

уравнения должны записы-

ваться для отклоненного

состояния, то есть «по де-

формированной схеме».

Это относится к зада-

чам устойчивости и 1-го,

и 2-го рода.

Математическое описание явления потери устойчивости второго рода значительно сложнее, чем в случае бифуркации. Большие трудности создает учет физической и геометрической нелинейностей.

Если при аналитическом исследовании системы типа рамы, представленной на рис. П.4, а, пренебречь физической нелинейностью, то будет получен график, принципиально отличный от истинного (показанного на рис. П.5 сплошной линией А ₀ А ₂ С) – он не будет иметь нисходящей ветви; причем в случае учета гео-

C’’ F Асимптота   Рис. П.5

F F_a

Расхождение между F_a и F_ult

уменьшается с уменьшением

C’

штриховой лини­ей показан гра-

f ₀ и е ₀ кривая ОА ₂ С

C

вырождается в ломаную ОА ₁ С’.

жения позволяют вместо слож-

ной задачи определения крити- Рис. П.6

ческой нагрузки второго рода F_ult

сформулировать и решить более простую бифуркационную задачу. Это упрощение достигается ценой потери точности, и полу-ченное значение F_cr следует рассматривать как оцен­ку сверху для предельной нагрузки F_ult (см. рис. П.6). При этом принципиально возможно учесть в бифуркационном решении физическую нелинейность, хотя это существенно усложняет расчет. Однако чаще всего применяют линейную теорию устойчивости.

Все рассмотренные варианты графиков демонстрируют нелинейность зависимостей F ~ D – от более сложных при учете полного комплекса нелинейностей для неидеальных систем до простейших – билинейных (ОА ₁ С и ОА ₁ С’ на рис. П.3 и П.6). Подчеркнем, что последние, хотя и относятся к линейной теории, отражают конструктивную нелинейность – единственную обязательно учитываемую в теории устойчивости сооружений.

Следует отметить, что определение напряженно-деформиро-ванного состояния неидеализированной системы при нагрузках, меньших, чем предельная, то есть в докритической стадии (участок ОА ₂ на рис. П.6), может представлять самостоятельный практический интерес. Для этого выполняется расчет системы по деформированному состоянию, но, как правило, без учета геомет-рической нелинейности. Подробнее об этом можно узнать из [8].

Окончание таблицы 1

В и д с м е щ е н и я
Поворот концевого сечения q на угол q	Взаимное линейное смещение концевых сечений D
Элемент 3-го типа		Элемент 4-го типа	lj

Таблица 2