XVII. Кино 31 страница. Встречаются, однако, понятия П

Встречаются, однако, понятия П. др. природы, не связанные с топологией, напр. понятие П. последовательности множеств. Последовательность множеств An, n = 1, 2,..., наз. сходящейся, если существует такое множество А, наз. её пределом, что каждая его точка принадлежит всем множествам А_п, начиная с нек-рого номера, и каждая точка из объединения всех множеств А_п, не принадлежащая Л, принадлежит лишь конечному числу А„.

Историческая справка. К понятию П. вплотную подошли ещё др.-греч. учёные при вычислении площадей и объёмов нек-рых фигур и тел с помощью исчерпывания метода. Так, Архимед, рассматривая последовательности вписанных и описанных ступенчатых фигур и тел, с помощью метода исчерпывания доказывал, что разность между их площадями (соответственно объёмами) может быть сделана меньше любой наперёд заданной положит. величины. Включая в себя представление о бесконечно малых, метод исчерпывания являлся зародышем теории П. Однако в явном виде в др.-греч. математике понятие П. не было сформулировано, не было создано и к.-л. основ общей теории.

Новый этап в развитии понятия П. наступил в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. Г. Галилей, И. Кеплер, Б. Кавальеры, Б. Паскаль и др. широко используют при вычислении площадей и объёмов " неделимых" метод, метод актуальных бесконечно малых, т. е. таких бесконечно малых, к-рые, по их представлению, являются неизменными величинами, не равными нулю и вместе с тем меньшими по абсолютной величине любых положит. конечных величин. Продолжает в этот период применяться и развиваться и метод исчерпывания (Григорий из Сен-Винцента, П. Гулъдин, X. Гюйгенс и др.). На основе интуитивного понятия П. появляются попытки создать общую теорию П. Так, И. Ньютон первый отдел первой книги (" О движении тел") своего труда " Математические начала натуральной философии" посвящает своеобразной теории П. под назв. " Метод первых и последних отношений", к-рую он берёт за основу своего флюксий исчисления. В этой теории Ньютон взамен актуальных бесконечно малых предлагает концепцию " потенциальной" бесконечно малой, к-рая лишь в процессе своего изменения становится по абсолютной величине меньше любой положит. конечной величины. Точка зрения Ньютона была существенным шагом вперёд в развитии представления о П. Понятие П., намечавшееся у математиков 17 в., в 18 в. постепенно всё больше анализировалось (Л. Эйлер, Ж. Д'Аламбер, Л. Карно, братья Бернулли и др.) и уточнялось. В этот период оно служило лишь для попыток объяснить правильность дифференциального и интегрального исчисления и ещё не являлось методом разработки проблем математич. анализа.

Совр. теория П. начала формироваться в нач. 19 в. в связи с изучением свойств различных классов функций, прежде всего непрерывных, а также в связи с попыткой доказательства существования ряда осн. объектов математич. анализа (интегралов функций действительных и комплексных переменных, сумм рядов, алгебраических корней и более общих уравнений и т. п.). Впервые в работах О. Коши понятие П. стало основой построения математич. анализа. Им были получены осн. признаки существования П. последовательностей, осн. теоремы о

П. и, что очень важно, дан внутренний критерий сходимости последовательности, носящий теперь его имя. Наконец, он определил интеграл как П. интегральных сумм и изучил его свойства, исходя из этого определения. Окончательно понятие П. последовательности и функции оформилось на базе теории действит. числа в работах Б. Больцано и К. Вейерштрасса. Из дальнейших обобщений понятия П. следует отметить понятия П., данные в работах С. О. Шатуновского (опубл. в 1923), амер. математиков Э. Г. Мура и Г. Л. Смита (1922) и франц. математика А. Картана (1937).

Лит.: А. лександров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.- Л., 1948; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1-2, М., 1971 - 73; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1 - 2, М., 1970; Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1 - 2, М., 1973; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967.

Л. Д. Кудрявцев.

ПРЕДЕЛЬНАЯ РАВНИНА, почти равнина, то же, что пенеплен.

ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА множества А, такая точка § пространства, сколь угодно близко от к-рой имеются отличные от g точки множества Л, т. е. в любой окрестности к-рой содержится бесконечное множество точек из Л. Характеристическим свойством П. т. множества Л является существование по крайней мере одной сходящейся к ней последовательности различных точек множества Л. П. т. множества Л не обязана ему принадлежать. Так, напр., всякая точка числовой прямой является П. т. для множества Л рациональных её точек: ко всякому как рациональному, так и иррациональному числу можно подобрать сходящуюся к нему последовательность различных рациональных чисел. Не всякое бесконечное множество имеет П. т.-таково, напр., множество всех целых чисел. Однако всякое бесконечное и ограниченное множество любого евклидова пространства имеет по крайней мере одну П. т.

Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. - Л., 1948.

ПРЕДЕЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ КАПИТАЛА (англ. marginal efficiency of capital), термин бурж. политич. экономии, означающий ожидаемую норму прибыли на дополнит. капитал. Это понятие наиболее чётко сформулировано Дж. М. Кейнсом (Великобритания) и получило распространение в работах представителей кейнсианства. По Кейнсу, П. э. к.-первое определяющее, к-рым руководствуется капиталист при решении вопроса об инвестициях, т. к. их размер зависит от той нормы прибыли, к-рую он рассчитывает получить. Вторым определяющим выступает процентная ставка на капитал. Капиталист проводит сравнение между П. э. к. и нормой процента. Инвестирование осуществляется лишь в том случае, если процентная ставка на капитал ниже нормы прибыли, ожидаемой от капиталовложений. Чем больше разрыв между этими показателями, тем сильнее побуждение капиталиста к инвестированию. Т. о., объём текущих инвестиций зависит от соотношения между П. э. к. и нормой процента: повышение нормы процента вызывает понижение П. э. к. и уменьшение инвестиций, понизившаяся норма процента и повысившаяся доступность кредита, наоборот, вызывают рост инвестиций. Кейнс исходит из предположения, что предприниматель расширяет свои инвестиции до тех пор, пока П. э. к. не снизится до уровня нормы процента. Однако такое предположение несостоятельно. Во-первых, Кейнс считает, что предприниматель применяет только ссудный капитал. В действительности же самая возможность использования ссудного капитала обусловлена наличием собственного капитала. Поэтому вопрос о норме процента имеет подчинённое значение для предпринимателя. Во-вторых, Кейнс признаёт распространённый в бурж. политич. экономии закон убывающей производительности капитала, согласно к-рому с увеличением вложения каждой дополнит. единицы капитала его производительность или эффективность снижается. Однако Кейнс не отвечает на вопрос, почему с увеличением применяемого в произ-ве капитала норма прибыли должна снижаться и почему в конечном счёте она должна снизиться до нормы процента.

Теория П. э. к. Кейнса является вульгарным истолкованием имеющейся в ка-питалистич. действительности и вскрытой ещё К. Марксом тенденции нормы прибыли к понижению (см. Тенденции нормы прибыли к понижению закон). Кейнс назвал эту тенденцию снижением П. э. к. и связал её с избыточным предложением капитала. По Кейнсу, рост инвестиций приводит к созданию новых капитальных благ, конкурирующих со старыми. Расширение выпуска продукции, считает он, неминуемо должно привести к снижению цен, что уменьшит ожидаемую прибыль. Такое явление может продолжаться до тех пор, пока норма процента не превысит П. э. к. Если же норма процента упадёт до нуля, капиталы будут непрерывно предлагаться до тех пор, пока они не насытят до предела рынок. В этом случае возникнут избыточные капиталы, не находящие применения, и норма прибыли катастрофически снизится. Т. о., Кейнс даёт искажённый анализ тенденции нормы прибыли к понижению, сохраняющей свою силу и в условиях монополистич. капитализма. В его толковании не проводится чёткого различия между нормой и массой прибыли, превратно объясняются причины, вызывающие снижение нормы прибыли, неправильно показывается влияние этого понижения на капиталистич. накопление.

Лит.: Кейнс Дж. М., Общая теория занятости, процента и денег, пер. с англ., М., 1948; Хаберлер Г., Процветание и депрессия, пер. с англ., М., 1960; Блюмин И. Г., Критика буржуазной политической экономии, т. 2, М., 1962. С. С. Носова.

ПРЕДЕЛЬНО-ДОПУСТИМАЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ (ПДК), максимальное количество вредного вещества в единице объёма (воздуха, воды или др. жидкостей) или веса (напр., пищ. продуктов), к-рое при ежедневном воздействии в течение неограниченно продолжит. времени не вызывает в организме к.-л. патоло-гич. отклонений, а также неблагоприятных наследств. изменений у потомства. Для установления ПДК используют расчётные методы, результаты биол. экспериментов, а также материалы динамич. наблюдений за состоянием здоровья лиц, подвергшихся воздействию вредных ве-вдеств. Уровни ПДК одного и того же вещества различны для разных объектов внеш. среды (напр., в СССР для свинца и его неорганических соединений ПДК в воде водоёмов хозяйственно-питьевого назначения - 0, 1 мг/л, в воздухе производственных помещений - 0, 01 мг/м³, в атм. воздухе - 0, 007 мг/м³). В СССР при нормировании ПДК учитывают воздействие вещества на людей любого возраста (в т. ч. и больных) в течение всей жизни, а также др. факторы (напр., влияние на общий сан. режим водоёма, возможности возникновения неприятных запахов в окружающем воздухе и т. д.). Правилами по охране поверхностных вод определены раздельные ПДК для водоёмов хоз.-питьевого и рыбопромыслового назначения. Установлено, что принятые уровни ПДК веществ в атм. воздухе, рассчитанные на охрану здоровья человека, в ряде случаев недостаточны для охраны зелёных насаждений; совр. гигиеной разрабатываются нормативы ПДК, учитывающие вредные влияния соответств. веществ и на зелёные насаждения. Уровни ПДК включены в ГОСТы, сан. нормы и др. нормативные документы, обязательные для исполнения на всей терр. СССР; их учитывают при проектировании технологич. процессов, оборудования, очистных устройств и пр. Санитарно-эпидемиологическая служба в порядке сан. надзора систематически контролирует соблюдение нормативов ПДК в воде водоёмов хоз.-питьевого водопользования (см. Санитарная охрана водоёмов), атм. воздухе (см. Санитарная охрана воздушного бассейна) и в воздухе производственных помещений: контроль за состоянием водоёмов рыбопромыслового назначения осуществляют органы рыбнадзора.

В зарубежных социалистич. странах перечень нормируемых веществ и уровни их ПДК аналогичны нормативам в СССР. В нек-рых капиталистич. странах также установлены ПДК для отдельных вредных веществ в водоёмах хоз.-питьевого водопользования, атм. воздухе и воздухе рабочих помещений. Однако, по мнению сов. учёных-гигиенистов, количество нормируемых веществ является недостаточным, а уровни их ПДК в большинстве случаев завышены. А. М. Сточик.

ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ встроительной технике, состояние строит. конструкции или основания здания (сооружения), при к-ром они перестают удовлетворять эксплуатац. требованиям. Понятием " П. с." пользуются при расчёте конструкций по методу того же названия, разработанному в СССР и введённому Строительными нормами и правилами (СНиП) в 1955. По сравнению с ранее применявшимися методами (по допускаемым напряжениям и по разрушающим нагрузкам) метод расчёта по П. с. является более совершенным; он отличается полнотой оценки несущей способности и надёжности конструкций благодаря учёту вероятностных свойств действующих на конструкции нагрузок и сопротивлений этим нагрузкам, особенностей работы отд. видов конструкций, а также пластич. свойств материалов.

В методе расчёта по П. с. вместо ранее применявшегося единого коэфф. запаса прочности используют неск. независимых коэфф., каждый из к-рых имеет определ. значение в обеспечении надёжности конструкции и гарантии от возникновения П. с. Осн. из них: коэффициент безопасности по материалу (и грунту), учитывающий статистич. изменчивость прочностных свойств материалов (грунтов), а также нек-рые др. факторы, исключающие или сильно затрудняющие возможность статистической оценки, напр. отличие сопротивлений материалов в конструкциях от определяемых испытаниями контрольных образцов; коэффициент перегрузки, учитывающий возможное отклонение величин нагрузок от исходных (нормативных) значений из-за изменчивости нагрузок и отступления от условий нормальной эксплуатации; коэффициент условий работы, учитывающий особенности действит. работы элементов конструкций, оснований, а также зданий и сооружений в целом, не отражаемые непосредственно в расчётах; коэффициент надёжности, учитывающий степень капитальности зданий и сооружений, а также значимость последствий наступления тех или иных П. с.

Различают П. с., при к-рых конструкция становится непригодной к нормальной эксплуатации, и П. с., при к-рых она полностью утрачивает несущую способность. Пригодность к нормальной эксплуатации обычно определяется требованиями жёсткости, ограничениями осадок, трещиностойкостью и т. д. Потеря несущей способности может проявляться в виде хрупкого, вязкого, усталостного разрушения материала, изменения конфигурации конструкции, а также потери устойчивости её формы, положения и т. д. Осн. цель расчёта по П. с.- предотвратить их возникновение в течение всего срока службы здания (сооружения).

Метод расчёта по П. с. получил широкое распространение в СССР, странах -членах СЭВ и странах, входящих в Международную орг-цию по стандартизации и Европ. к-т по бетону. В СССР этот метод применяется также при расчёте некоторых маш.-строит, конструкций, например металлич. конструкций мостовых, подвесных и башенных грузоподъёмных кранов.

Лит.: Строительные нормы и правила, ч. 2, раздел А, гл. 10. Строительные конструкции и основания. Основные положения проектирования, М., 1972; Балдин В. А. [и др.], К выходу СНиП II - А. 10 - 71, " Строительная механика и расчет сооружений", 1972, № 4. А. А. Батъ, В. А. Отставное.

ПРЕДЕЛЬНОЙ ПОЛЕЗНОСТИ ТЕОРИЯ, бурж. теория, пытающаяся дать объяснение процессам ценообразования в условиях капиталистич. х-ва. Возникла в последней трети 19 в. в противовес теории трудовой стоимости К. Маркса. Разрабатывалась У. С. Джевонсом (Великобритания), Л. Вальрасом (Швейцария), К. Менгером, Э. Бём-Баверком (Австрия). Бурж. экономисты не могли примириться с тем, что марксистская теория не только даёт объяснение процессам ценообразования, но и вскрывает источник капиталистич. эксплуатации в виде прибавочной стоимости и тем самым показывает основу непримиримых противоречий между двумя осн. классами капиталистич. общества. Конкретно-ис-торич. условия, способствовавшие возникновению и развитию П. п. т., были связаны с вовлечением в сферу действия капиталистич. рынка новых территорий и сфер х-ва. Усиление рыночных отношений затушёвывало производств. основу ценообразования и способствовало бурж. фетишизации рыночных процессов.

Методологии П. п. т. присущи: 1) субъективно-психологический взгляд на действующие в рыночном х-ве механизмы, в основу к-рых кладутся оценки агентов рыночного х-ва (продавца, покупателя), а не объективные процессы, формирующие в конечном счёте психологич. оценки этих агентов. 2) Потребительский подход к объяснению сил, воздействующих на формирование цены. В этом П. п. т. коренным образом отличается от классич. бурж. политич. экономии, рассматривавшей стоимость в качестве основы цены, и связывавшей эту категорию с процессами произ-ва и трудовыми затратами в ходе произ-ва, хотя часто объяснения классиков бурж. политич. экономии страдали эклектизмом и не вскрывали единого источника стоимости, заключённого в затратах абстрактного труда. На место категории стоимости П. п. т. ставит категорию полезности, выводя последнюю из процессов потребления. В этом едином источнике формирования цен, исходящем из потребления, из полезности, состоит монизм П. п. т. 3) Априорно-дедуктивный метод построения теории. П. п. т. исходит из ограниченного набора постулатов, имеющих характер очевидности с точки зрения " здравого смысла", и, пользуясь ими, стремится к построению теории, не противоречащей законам формальной логики. Однако коренным пороком такого метода является отсутствие практич. проверки теоретич. конструкции.

К числу осн. постулатов П. п. т. относятся Госсена законы. Процесс установления цены на рынке наиболее подробно описывается в работах представителей австрийской школы (Менгера, Ф. Визера, Бём-Баверка). На основе взаимоотношений т. н. рыночных пар (продавец - покупатель) пока на рынке оценки полезности товара со стороны продавца ниже, чем оценки покупателя, обмен идёт беспрепятственно. Это способствует вовлечению в обмен продавцов с более высокой оценкой полезности товара и покупателей с более низкой оценкой. Процесс обмена продолжается до тех пор, пока не встречается т. н. предельная пара, чьи субъективные оценки полезности, выраженные в деньгах, совпадают. Субъективная оценка полезности товара этой последней пары продавец - покупатель и есть та предельная полезность, к-рая определяет рыночную цену товара. Это -цена равновесия, определяющая в дальнейшем течение всех сделок на рынке. Апологетич. сущность П. п. т. состоит в том, что она выводит проблему измерения и соизмерения цен из области обществ.-производств, отношений в область субъективно-психологич. оценок. Непротиворечивость П. п. т. оказывается мнимой, поскольку оценки полезности носят конкретно-историч. характер и зависят от сложившейся в тот или иной период структуры цен. Т. о. возникает порочный логический круг: цены - полезности -цены. Полезность и предельная полезность есть не что иное, как свойства потребительной стоимости (см. Товар). Между тем потребительные стоимости невозможно соизмерить непосредственно. Соизмерению они подвергаются в той мере, в какой они являются носителями стоимости, т. е. определённого количества абстрактного труда, выраженного в единицах общественно необходимого рабочего времени. В марксистской лит-ре даётся также критика модификаций

П. п. т. (метода кривых безразличия, теории выявленных предпочтений).

Лит.: Hilferding R., Bphmi Bawerks Marx-Kritik, " Marx - Studien", Bd 1, W., 1904; Блюмин И. Г., Критика буржуазной политической экономии, т. 1, М., 1962; Козлова К., Энтов Р., Теории цены, М., 1972. Ю. Б. Кочеврин.

ПРЕДЕЛЬНОЙ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ, см. в ст. Производительности теории.

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ теории вероятностей, общее назв. ряда теорем вероятностей теории, указывающих условия возникновения тех или иных закономерностей в результате действия большого числа случайных факторов. Исторически первые П. т.- теорема Бернулли (1713) и теорема Лапласа (1812) - относятся к распределению отклонений частоты появления нек-рого события Е при п независимых испытаниях от его вероятности р(0< р< 1). Частотой называется отношение т/га, где т - число наступлений события Е при п испытаниях (точные формулировки см. в ст. Бернулли теорема и Лапласа теорема). С. Пуассон (1837) распространил эти теоремы на случай, когда вероятность рц наступления Е в k-м испытании может зависеть от k, описав предельное поведение при n-> БЕСКОНЕЧНОСТИ распределения отклонений частоты т/п от среднего арифметического р вероятностей p_k(1< =k< =n):
[ris]

(см. Больших чисел закон). Если обозначить через x _k, случайную величину, принимающую значение, равное единице при появлении события Е в k- миспытании, и значение, равное нулю при его непоявлении, то т можно представить в виде суммы

т = X₁ + Х₂ +... + Х_n,

что позволяет рассматривать перечисленные теоремы как частные случаи общих П. т., относящихся к суммам независимых случайных величин (закона больших чисел и центральной предельной теоремы).

Закон больших чисел. Пусть X₁, X₂, ..., Х_п,... (*) - к.-л. последовательность независимых случайных величин, s_n - сумма первых га из них
s_n = X, + Х₂ +... + Х_п, А_n и В²_n - соответственно математическое ожидание
[ris]

суммы s_n. Говорят, что последовательность (*) подчиняется закону больших чисел, если при любом е> 0 вероятность неравенства
[ris] стремится к нулю при n-> БЕСКОНЕЧНОСТИ.

Широкие условия приложимости закона больших чисел найдены впервые П. Л. Чебышевым (в 1867) (см. Больших чисел закон). Эти условия затем были обобщены А. А. Марковым (старшим). Вопрос о необходимых и достаточных условиях приложимости закона больших чисел был окончательно решён А. Н. Колмогоровым (1928). В случае, когда ве-

личины х _n имеют одну и ту же функцию распределения, эти условия, как показал А. Я. Хинчин (1929), сводятся к одному: величины X" должны иметь конечные математич. ожидания.

Центральная предельная теорема. Говорят, что к последовательности (*) применима центральная предельная теорема, если при любых Z₁ и Z₂ вероятность неравенства
[ris]

(см. Нормальное распределение). Довольно общие достаточные условия применимости центральной предельной теоремы были указаны Чебышевым (1887), но и в его доказательстве обнаружились пробелы, восполненные лишь позже Марковым (1898). Решение вопроса, близкое к окончательному, было получено А. М. Ляпуновым (1901). Точная формулировка теоремы Ляпунова такова: пусть
[ris]

ности (*) применима центральная предельная теорема. Окончат. решение вопроса об условиях приложимости центральной предельной теоремы получено в основных чертах С. Н. Бернштейном (1926) и дополнено В. Феллером (1935). Из др. направлений работ в области П. т. можно отметить следующие.

1) Начатые Марковым и продолженные Бернштейном и др. исследования условий приложимости закона больших чисел и центральной предельной теоремы к суммам зависимых величин.

2) Даже в случае последовательности одинаково распределённых случайных величин можно указать простые примеры, когда суммы имеют в пределе распределение, отличное от нормального (речь идёт о невырожденных распределениях, т. е. о распределениях, не сосредоточенных целиком в одной точке). В работах сов. математиков А. Я. Хинчина, Б. В. Гне-денко, франц. математиков П. Леви, В. Дёблина и др. полностью изучены как класс возможных предельных распределений для сумм независимых случайных величин, так и условия сходимости распределений сумм к тому или иному предельному распределению.

3) Значит. внимание уделяется т. н. локальным П. т. Пусть, напр., величины х _п принимают лишь целые значения. Тогда суммы s_n принимают также только целые значения и естественно поставить вопрос о предельном поведении вероятностей Р_n(т) того, что s_n=m (где т -целое). Простейшим примером локальной П. т. может служить локальная теорема Лапласа (см. Лапласа теорема)

4) П. т. в их классич. постановке описывают поведение отд. суммы s_n с возрастанием номера n. Достаточно общие П. т. для вероятностей событий, зависящих сразу от неск. сумм, получены впервые Колмогоровым (1931). Так, напр., из его результатов следует, что при весьма широких условиях вероятность неравенства
[ris]
имеет пределом величину
[ris]

5) Перечисленные выше П. т. относятся к суммам случайных величин. Примером П. т. иного рода могут служить П. т. для членов вариационного ряда. Эти П. т. подробно изучены сов. математиками Б. В. Гнеденко и Н. В. Смирновым.

6) Наконец, к П. т. относят также и теоремы, устанавливающие свойства последовательностей случайных величин, имеющие место с вероятностью, равной единице (см., напр., Повторного логарифма закон).

Лит.: Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М. - Л., 1949; Ибрагимов И. А., Линник Ю. В., Независимые и стационарно связанные величины, М., 1965; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы, 2 изд., М., 1973. Ю. В. Прохоров.

ПРЕДЕЛЬНЫЕ УГЛЕВОДОРОДЫ, то же, что насыщенные углеводороды.

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ системы дифференциальных уравнений 2-го порядка
[ris]

- замкнутая траектория в фазовом пространстве хОу, обладающая тем свойством, что все траектории, начинающиеся в достаточно узкой кольцеобразной её окрестности, неограниченно приближаются к этой траектории или при t -> + БЕСКОНЕЧНОСТЬ (устойчивый П. ц.), или при t -> - БЕСКОНЕЧНОСТЬ (неустойчивый П. ц.), или часть из них при t-> + БЕСКОНЕЧНОСТЬ, а остальные - при t-> - БЕСКОНЕЧНОСТЬ (полуустойчивый П. ц.). Напр., система
[ris]

(r и ф - полярные координаты), общее решение к-рой r = 1-(1-r₀)е^-t, ф=ф_о + t (где r₀=> 0), имеет устойчивый П. ц. r = 1 (см. рис.). Понятие П. ц. переносится также на систему и-го порядка. С механич. точки зрения устойчивый П. ц. соответствует устойчивому перио-дич. режиму системы. Поэтому разыскание П. ц. имеет важное значение в теории нелинейных колебаний.

Лит.: Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970; Андронов А. А., Витт А. А., Xаикин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959.

ПРЕДИВИНСК, посёлок гор. типа в Болыпемуртинском р-не Красноярского края РСФСР. Расположен на правом берегу Енисея, в 183 км ниже Красноярска. Леспромхоз.

ПРЕДИКАТ (от позднелат. praedicatum-сказанное), то же, что свойство; в узком смысле - свойство отд. предмета, напр, " быть человеком", в широком смысле -свойство дары, тройки, вообще и-ки предметов, напр, " быть родственником". П. в широком смысле наз. также отношениями.

Исторически понятие о П. явилось следствием логич. анализа высказываний естеств. языка, т. е. выяснения их логич. структуры, выяснения того, какой логикой может быть выражен (формализован) смысл этих высказываний. Идея выделения логич. структуры речи, в отличие от грамматической, для нужд логич. дедукции принадлежит Аристотелю. В аристотелевской и в последующей " традиционной" логике П. понимался в узком смысле как один из двух терминов суждения, а именно тот, в к-ром нечто говорится о предмете речи - субъекте. Форма ска-зывания - предикативная связь - сводилась при этом к атрибутивной связи, т. е. выражала " присущность" предмету нек-рого признака. Аристотель выделял 4 типа признаков, способных играть роль П.: родовые, видовые, собственные и случайные. Это т. н. предикабилии -типы сказуемых.

Логич. анализ фраз естеств. языка на том уровне представлений о логич. дедукции, к-рый был характерен для аристотелевской (и традиционной) логики, ограничивался, т. о., для выражения смысла высказываний логикой одноместных П. (логикой свойств в узком смысле). Это существенно ослабляло " выразительные возможности" логики и служило препятствием для адекватной формализации тех объективных связей между предметами, к-рые, будучи мыслимыми в виде отношений (свойств в широком смысле) между соответствующими понятиями, лежат в основе логич. правильности умозаключений об отношениях -осн. умозаключений в науке. Устранение указанного препятствия и усиление выразительных средств формализма совр. логики связано, в частности, с восходящей к работе Г. Фреге " Исчисление понятий" (1879) новой трактовкой П. Главная идея этой трактовки - рассмотрение отношения предикации как частного случая функциональной зависимости. Это обеспечивает более ёмкое, чем аристотелевское, отображение смысловой структуры фраз естеств. языка в формализме субъ-ектно-предикатного типа и одновременно дальнейшее развитие самого этого формализма на пути сближения языков логики и математики.

Основой для " функциональной" точки зрения на П. служат в естественных и в искусственных (точных) языках выражения вида повествовательных предложений, содержащие неопределённые термины - неопределённые имена предметов: переменные (параметры) в записи утверждений в математич. языке, напр. х+2 = 4; слова " нечто", " некто", " кто-либо" и пр., играющие в естественном языке роль переменных в выражениях типа: " Некто человек", " Кто-то любит кого-то", " Если кто-либо человек, то он смертен" и т. п. Записав эти выражения нек-рым единым способом, напр. заменяя неопределённые термины пробелами, аналогично тому, как это делается в опросных бланках, " - + 2 = 4", " -человек", " - любит -", " Если - человек, то - смертен", или же принимая запись с помощью переменных в качестве основной, " х+2 = 4", " х человек", " х любит у", " Если х человек, то х смертен", легко заметить нечто общее между ними. Во-первых, наличие неопределённых терминов делает эти и подобные им выражения, вообще говоря, неопределёнными как в смысле того, что в них утверждается, так и в смысле их истинностного значения; во-вторых, всякое подходящее указание на область значений неопределённых терминов и одновременная квантификация или замена неопределённых терминов их значениями преобразует соответствующие выражения в осмысленные высказывания. В совр. логике выражения, имеющие вид повествовательных предложений и содержащие неопределённые термины, получили общее назв. пропозициональных функций, или, сохраняя традиц. термин, П. Как и числовые функции, П. являются соответствиями. Неопределённые термины играют в них обычную роль аргументов функции, но, в отличие от числовых функций, значениями П. служат высказывания. В общем случае, отвлекаясь от к.-л. определённого языка и сохраняя только функциональную форму записи, П. от п переменных (от п неопредел, терминов) выражают формулой P(x ₁,..., х_п), где п> =0. При n = 0 П. совпадает с высказыванием, при n=1 П. будет свойством в узком смысле (1-местным П.), при п = 2 - свойством " пары" (2-местным П., или бинарным отношением), при и = 3 - свойством " тройки" (3-местным П., или тернарным отношением) и т. д. Выражения: " x + 2 = 4", " х человек", " х любит у", " х сын у и z" служат соответственно примерами 1-местного, 2-местного и 3-местного П. Они преобразуются в высказывания либо при надлежащей подстановке, напр. " 2 + 2 = 4", " Сократ - человек", " Ксантиппа любит Сократа", " Софро-ниск - сын Ксантиппы и Сократа", либо при связывании переменных кванторны-ми словами, напр. " СУЩЕСТВУЕТ х(х + 2 = 4)" (существует число, к-рое в сумме с 2 даёт 4), " СУЩЕСТВУЕТ х (х - человек)" (существуют люди), " Vх СУЩЕСТВУЕТ уСУЩЕСТВУЕТ z(х сын у и z)" (каждый является сыном по крайней мере двух родителей) и т. п., имея в виду, что области значений переменных в первом случае -числа, во втором - живые существа, в третьем - люди. (Подробнее о кванти-фикации см. Квантор.)