XVII. Кино 30 страница. Металлические П. н. к. применяют в пролётных строениях мостов, подкрановых балках, мачтах, башнях, опорах линий электропередачи и др.

Металлические П. н. к. применяют в пролётных строениях мостов, подкрановых балках, мачтах, башнях, опорах линий электропередачи и др.

Расчёт П. н. к. ведётся по методу предельных состояний с учётом реальных физико-механич. свойств бетона и стали. При этом исходят из того, что создаваемые напряжения не сохраняются постоянными до приложения эксплуатац. нагрузок. Потери предварит. напряжения могут быть обусловлены технологич. факторами (напр., термообработкой изделий и конструкций), физико-механич. свойствами бетона и стали (усадкой и
ползучестью бетона, релаксацией напряжений в стали), особенностями конструктивных решений П. н. к. и оборудования для натяжения арматуры (деформацией анкеров, трением арматуры о поверхность бетона в каналах или пазах и др.).

Предварит. напряжение в арматуре железобетонных П. н. к. может быть создано до отвердения бетона (с натяжением арматуры на форму или на упоры стенда), после отвердения (с натяжением арматуры на затвердевший бетон причём арматура располагается в каналах, пронизывающих конструкцию, или во внешних пазах), в процессе твердения бетона (с помощью напрягающего цемента). Для натяжения арматуры используют механич. (с помощью спец. домкратов или др. устройств), электротермич. и др. способы. Для создания предварит, напряжения в металлич. П. н. к. используют упругий выгиб отд. элементов, свариваемых в целую балку, обжатие отдельных стержней и стержневых систем затяжками из высокопрочных сталей, принудительное смещение опор неразрезных балок, арок, рам и др. способы.

Лит.: Михайлов В. В., Предварительно напряженные железобетонные конструкция, М., 1963; Б е л е н я Е. И., Предварительно напряженные металлические несущие конструкции, М., 1963; Дмитриев С. А., Калатуров Б. А., Расчет предварительно напряженных железобетонных конструкций. М., 1965; Lеопhardt F., Spannbeton fiir die Praxis, 2 Aufl., В., 1962; Guуоn I., Constructions en beton precontract, t. 1-2, P., 1966 - 68.

Г. И. Бердичевский.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО РАЗРЕЖЕНИЯ НАСОС, то же, что форвакуумный насос.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ЗАКЛЮЧЕНИЕ, содержание под стражей в качестве меры пресечения. В СССР допускается только в отношении обвиняемого (подсудимого) или подозреваемого. Применяется лишь по постановлению следователя (лица, производящего дознание), санкционированному прокурором, постановлению прокурора, определению или приговору суда по делам о преступлениях, за к-рые может быть применено наказание в виде лишения свободы, и лишь при наличии оснований, предусмотренных законом (тяжесть содеянного, возможность скрыться, продолжать преступную деятельность и т. д.). Предельные сроки П. з. устанавливаются ст. 34 Основ уголовного судопроизводства 1958.

Осн. требования режима в местах П. з. определены в Положении о предварительном заключении под стражу (Закон СССР от 11 июля 1969-" Ведомости Верховного Совета СССР", 1969, № 29, с. 248) и республиканским законодательством. К ним относятся: изоляция лиц, заключённых под стражу, надзор за ними, раздельное содержание нек-рых категорий обвиняемых (подозреваемых). Так, несовершеннолетние содержатся отдельно от взрослых; лица, обвиняемые (подозреваемые) в тяжких преступлениях, - отдельно от остальных. Отдельно содержатся также особо опасные рецидивисты.

Время П. з. засчитывается судом при осуждении к лишению свободы (или при направлении в дисциплинарный батальон) день за день, при осуждении к исправит. работам, ссылке или высылке - день за 3 дня. Надзор за соблюдением законности в местах лишения свободы осуществляет прокурор.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ СЛЕДСТВИЕ, по сов. праву стадия уголовного судопроизводства, следующая за возбуждением дела и завершающаяся направлением дела с обвинительным заключением прокурору или его прекращением. Цель П. с.- всестороннее, полное и объективное выяснение всех обстоятельств, имеющих существенное значение для правильного разрешения дела. Производится следователями прокуратуры, органов внутр. дел или гос. безопасности. В ходе П. с. осуществляются следственные действия по собиранию и проверке доказательств, привлекаются в качестве обвиняемых лица, в отношении к-рых собраны достаточные доказательства совершения ими преступления, выбирается мера пресечения, принимаются меры обеспечения гражд. иска и возможной конфискации имущества.

Подозреваемому, обвиняемому, потерпевшему и др. участникам процесса во время П. с. предоставлены широкие права для защиты их законных интересов. Однако независимо от процессуальной активности участников процесса орган П. с. обязан в полной мере обеспечить их законные интересы. В частности, следователь обязан с равной тщательностью собирать как обвинит., так и оправ дат. доказательства.

Защитник допускается к участию в П. с. с момента предъявления обвиняемому для ознакомления производства по делу; по делам несовершеннолетних, а также лиц, не владеющих языком судопроизводства, и в нек-рых др. случаях, предусмотренных законом, - с момента предъявления обвинения.

При установлении обстоятельств, исключающих производство по уголовному делу, орган П. с. выносит постановление о его прекращении. Законодательство большинства союзных республик предусматривает вынесение такого постановления и при передаче виновного на поруки, при передаче дела в товарищеский суд либо в комиссию по делам несовершеннолетних.

При передаче дела в суд выводы П. с. всесторонне проверяются в ходе судебного разбирательства. Практически большая часть доказательств собирается на П. с., а центр тяжести судебного следствия переносится на их проверку. См. также ст. Дознание, Следствие.

ПРЕДВИДЕНИЕ НАУЧНОЕ, вид теоретич. деятельности, заключающийся в определении, описании тех или иных явлений природы, обществ. жизни, пси-хич. состояний, к-рые отсутствуют или не известны в настоящий момент, но могут возникнуть или быть изучены и открыты в будущем.

П. н. возникает на основе донаучных форм предвидения, к-рые развиваются первонач. в рамках практич. деятельности людей. Предвидение в форме пророчеств. прорицаний, гаданий было известно в глубокой древности. Уже в Др. Греции, Индии, Китае, Египте и Вавилонии происходило первое фундаментальное разграничение областей предвидения на область явлений природы (солнечное затмение, предсказание урожая, изменение погоды и т. п.); область социальных явлений (наступление и исход войны, победа или поражение политич. группировки и т. п.); область событий в жизни отд. человека (смерть, болезнь, рождение, бракосочетание, обогащение и т. п.).

В своей первонач. форме предвидение нередко выступало в мистич., иррациональной и религ. форме и монополизировалось спец. группами - жрецами, оракулами, пророками, шаманами и др. Однако уже в это время известны формы предвидения и предсказания, опирающиеся на личный " мирской" опыт и зачатки науч. знаний. Примером может служить предсказание Фалесом солнечного затмения (585 до н. э.) и предстоящего высокого урожая винограда. Потребность в предвидении возникает из необходимости управления обществом, промышленностью, торговлей, организацией земледелия, планированием политических, экономических и культурных мероприятий.

П. н. возникает одновременно с развитием совр. науки в 15-17 вв. Основой П. н. является науч. теория, представляющая собой цепь взаимообусловленных, логически связанных законов. Из определённых законов по заранее установленным правилам выводятся следствия, содержащие информацию о свойствах, отношениях и др. характеристиках данных явлений. Отнесённые к будущему, они выступают как акты предвидения. Предвидение, более или менее локализованное во времени и содержащее достаточно полную информацию, обычно называется предсказанием, напр. описания химич. свойств нек-рых ещё не открытых элементов на основе периодического закона Менделеева, предсказание позитрона П. Дираком и т. п. Предвидение может осуществляться по т. н. детерминистической и вероятностной схемам. В первом случае каждое явление предсказывается с высокой степенью точности и строго локализуется во времени или пространстве. Чем сложнее явление, тем чаще приходится прибегать к вероятностно-статистич. методам предвидения-предсказания. Детерминистич. формы П. н., как правило, имеют место в механике, классич. физике, химии, ряде разделов астрономии и т. п. Для предсказания явлений, относящихся к области сложных систем и подвергающихся воздействию многочисленных факторов, не поддающихся полному учёту (квантовая физика, а также экономика, политика, психология и др.), используются различные схемы вероятностно-статистич. предсказания, предвидения и прогнозирования. В области обществ. явлений П. н. стало возможным благодаря открытию в рамках исторического материализма осн. законов функционирования и развития социальных систем. На основе этих законов было осуществлено предвидение новой социально-экономич. формации -коммунизма, необходимости социали-стич. революции, диктатуры пролетариата и т. п. Характер П. н. и степень его достоверности зависят не только от структуры и объективной истинности законов определённой отрасли науки, но и от точности и полноты исходной эмпирической информации, описывающей начальные условия того или иного события.

В условиях социализма предвидение осн. тенденций и событий обществ. жизни составляет основу науч. руководства обществом. Методология П. н., включая исследование логических структур, применяемых в различных схемах предвидения и предсказания, необходима для разработки спец. методик точного количеств. прогнозирования. При этом необходимо учитывать, что каждый акт П. н. по схеме обратной связи может оказывать влияние на ход историч. событий, видоизменяя их в рамках объективных закономерностей.

В условиях бурж. общества предвидение социальных процессов и событий осложняется анархией производства, неконтролируемыми социально-экономич. кризисами, волюнтаризмом и др. факторами, характерными для экономики, политики и культуры капитализма. Это привело к появлению концепций, отрицающих возможность предвидения развития обществ. явлений.

Гл. направлениями в исследовании основ П. н. являются: логич. исследование его структур; сравнит. исследования П. н. в естеств. и обществ. науках; методология П. н. осн. социальных процессов в совр. обществе; методика и техника различных спец. видов предвидения, предсказания и прогнозирования, применяемых в нар. х-ве, политике, культуре, в области индивидуального поведения людей.

Лит.: Виноградов В. Г., Гончарук С. И., Законы общества и научное предвидение, М., 1972; Виноградов В. Г., Научное предвидение (Гносеологический анализ), М., 1973; Руденко К. П., Лопка i наукове передбачення. Лопко-гно-сеолопчний анал! з, КиГв, 1972; Siсinski A., Prognozy a nauka, Warsz., 1969.

А. И. Ракитов.

ПРЕДВОДИТЕЛЕВ Александр Саввич [30.8(11.9).1891, с. Букрино, ныне Ста-рожиловского р-на Рязанской обл., -27.12.1973, Москва], советский физик, чл.-корр. АН СССР (1939). Окончил Моск. ун-т (1915), с 1935 проф. там же. Одновременно с 1939 зав. лабораторией Энергетич. ин-та АН СССР. Осн. труды по молекулярной физике, гидродинамике, теплофизике. Исследовал процессы горения, распространения волн в жидких и газовых средах, физ. свойства жидкостей и др. Разрабатывал теорию гетерогенного горения. Совм. с другими исследовал процессы горения углерода (результаты этих исследований изложены в монографии " Горение углерода", 1949; Гос. пр. СССР, 1950). Предложил методы расчёта констант рабочих веществ. Награждён 2 орденами Ленина, 5 др. орденами, а также медалями.

Лит.: Александр Саввич Предводителей (К 80-летию со дня рождения), " Успехи физических наук", 1971, т. 105, в. 3.

ПРЕДВЫХОДНЫЕ И ПРЕДПРАЗДНИЧНЫЕ ДНИ, по сов. праву накануне праздничных дней продолжительность работы рабочих и служащих (кроме тех, кто уже имеет сокращённое рабочее время) сокращается на 1 ч как при 5-, так и при 6-дневной рабочей неделе. В предвыходные дни продолжительность работы при 6-дневной рабочей неделе не может превышать 6 ч.

ПРЕДГОРНЫЕ ЛЕСТНИЦЫ, выровненные поверхности, расположенные в виде ступеней по окраинам наиболее высокой и расчленённой центр, части горной страны. Понятие о П. л. введено в 20-х гг. 20 в. В. Пенком, к-рый развивал представление о П. л. как о разновозрастных денудационных поверхностях, образующихся при непрерывном равномерном поднятии горной страны и одновременном вовлечении в поднятие всё новых территорий прилегающих равнин.

Как показали последующие исследования, П. л. не типичны для внеш. облика горных стран; в том случае, когда многоярусные выровненные поверхности всё же имеют место, они являются принадлежностью горного рельефа, а не предгорий; т. о., неточен сам термин " П. л." (правильнее было бы говорить о горной лестнице).

Объяснение, к-рое дал Пенк происхождению П. л., неудовлетворительное, т. к. непрерывное плавное поднятие горной страны не может сопровождаться образованием " ступеней". Множественность денудационных поверхностей обычно является следствием смены периодов быстрого поднятия земной коры периодами относит. покоя или результатом деформации одной и той же денудационной поверхности тектонич. процессами, благодаря чему различные её части оказываются на разных высотах.

ПРЕДГОРНЫЙ ПРОГИБ, то же, что краевой прогиб или передовой прогиб.

ПРЕДГОРЬЯ, пониженные окраинные части горных стран, характеризующиеся холмистым или низкогорным рельефом.

ПРЕДДВЕРНОУЛИТКОВЫЙ НЕРВ (п. vestibulo-cochlearis) у человека (устар.- слуховой и статический нерв), 8-я пара черепно-мозговых нервов. Состоит из двух функциональных частей -вестибулярной (проводник импульсов от органа равновесия) и улитковой, воспринимающей звуковые раздражения (см. Ухо). Вестибулярная часть начинается от узла преддверия, лежащего на дне внутр. слухового прохода. Периферич. отростки нервных клеток этого узла подходят к рецепторным элементам мешочка, маточки и ампул перепончатых полукружных каналов внутр. уха. Улитковая часть берёт начало от спирального узла, залегающего в основании костной пластинки улитки. Периферич. отростки клеток данного узла вступают в тесные связи с рецепгорными аппаратами спирального (кортиева) органа, расположенного по всей длине улиткового канала перепончатого лабиринта. Центр. отростки пред-дверного и спирального узлов выходят из внутр. уха и в составе соответств. частей нерва направляются к основанию мозга, кнаружи от оливы продолговатого мозга они вступают в него и после объединения достигают своих ядер, локализованных в углах ромбовидной ямки. При поражении волокон улитковой части П. н. (инфекционном или травматич.) могут наступить расстройства слуха (вплоть до глухоты), при нарушениях вестибулярной части - нарушение равновесия, головокружение.

ПРЕДДОГОВОРНЫЕ СПОРЫ, в СССР споры, возникающие при заключении гражданско-правовых договоров между гос., кооп. и обществ. организациями в случае недостижения соглашения о содержании конкретного договора. Порядок разрешения П. с. регулируется Основами гражданского законодательства 1961, ГК союзных республик и др. нормативными актами (напр., Положением о порядке предъявления и рассмотрения претензий предприятиями, учреждениями и орг-циями и урегулирования разногласий по хоз. договорам, 1973). Разногласия при заключении договора, основанного на обязательном для обеих сторон плановом задании, разрешаются соответствующим арбитражем, а также судом, если хотя бы одной из сторон является колхоз или межколхозная организация. При заключении договора, не основанного на плановом задании, П. с. могут разрешаться соответственно арбитражем или судом при условии, если это специально предусмотрено законом либо соглашением сторон (напр., ст. 166 ГК РСФСР). В установленных законодательством случаях П. с. разрешаются в особом порядке (напр., разногласия между поставщиками и покупателями при заключении договоров поставки на ярмарках по оптовой продаже товаров нар. потребления разрешаются ярмарочными комитетами). Непременному урегулированию подлежат разногласия, возникающие при заключении хоз. договора, даже если обязательными для организаций правилами не предусмотрены порядок и сроки согласования условий договора. В основе решения по П. с. лежит рассмотрение компетентным органом т. н. протокола разногласий, представляемого, как правило, стороной, от к-рой исходит инициатива заключения договора. В протоколе излагается (в редакции каждой из сторон) содержание условий договора, по к-рым обнаружились расхождения. Если в процессе рассмотрения спора арбитражем (судом) соглашение между сторонами не достигнуто, арбитраж (суд) сам принимает решение по спорным вопросам, обязательное для сторон, и тем самым договор считается заключённым.

ПРЕДЕЛ, одно из осн. понятий математики. П.- постоянная, к к-рой неограниченно приближается нек-рая переменная величина, зависящая от другой переменной величины, при определённом изменении последней. Простейшим является понятие П. числовой последовательности, с помощью к-рого могут быть определены понятия П. функции, П. последовательности точек пространства, П. интегральных сумм.

Предел последовательности. Пусть задана последовательность действит. чисел х_п, п = 1, 2,... Число а называется пределом этой последовательности, если для любого числа е> 0 существует такой номер n_е, что для всех номеров п> =п_с выполняется неравенство \х_п- а|< е. В этом случае пишется
[ris]

(lim - первые буквы латинского слова limes), или
[ris]

Если последовательность имеет П., то говорят, что она сходится. Так, последовательность 1/n, n = 1, 2,..., сходится и имеет своим П. число 0. Не всякая последовательность имеет П., напр, последовательность 1, -1, 1,..., (-1)ⁿ⁺¹,... не имеет П. Последовательность, не имеющая П., наз. расходящейся. На геометрич. языке существование у последовательности П., равного а, означает, что каждая окрестность точки а содержит все члены данной последовательности, за исключением, быть может, их конечного числа.

Для П. последовательностей имеют место формулы
[ris]
[ris]

Эти формулы справедливы в предположении, что П., стоящие в их правых частях, существуют, причём в формуле для П. частного х_п/у_п надо ещё допол-
[ris]

т. е. при предельных переходах нестрогие неравенства сохраняются (но из x_п< y_п

[ris]

Последовательность а _п, и = 1, 2,..., сходящаяся к нулю, называется бесконечно малой. Последовательность сходится к к.-л. числу тогда и только тогда, когда разность между членами последовательности и этим числом является бесконечно малой последовательностью (т. о., общее понятие П. последовательности сводится к понятию бесконечно малой). Так, напр., последовательность ⁴/₂, ²/₃, ³/₄,..., n/(n+1),...
имеет своим П. единицу, поскольку разность 1-n/(n+l) = l/(n+l), и = 1, 2,... является бесконечно, малой последовательностью.

Всякая возрастающая (убывающая) последовательность, ограниченная сверху (соответственно снизу), сходится. Напр., если для заданного числа а обозначить чеоез а_п ппиближённое значение его
[ris]

возрастающей ограниченной сверху последовательности является последовательность длин периметров правильных многоугольников, вписанных в данную окружность, к длине к-рой сходится эта последовательность.

Для того чтобы сходилась произвольная последовательность х_п, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла критерию Кош и: для любого числа е> 0 существует такой номер N_e, что для всех номеров m> =Ne и n> =N_e выполняется неравенство | х_п-x_m |< е.

Если последовательность х_п, и = 1, 2,..., такова, что для числа e> 0 существует такой номер п_e что для всех номеров n> =n _e выполняется неравенство |x _п |> е, то последовательность х_п наз. бесконечно большой и пишется
[ris]

Если же при этом для любого е> 0 существует такой номер n_е, что х_п> е (соответственно х_п< -е) для всех n^n_t.
[ris]

собой разумеется, что бесконечно большие последовательности не являются сходящимися в смысле данного выше определения этого понятия. На бесконечные П. переносятся далеко не все свойства конечных П. Напр., последовательности х_п = п и y_n = sin [(nп)/2 -n]бесконечно большие, а последовательность x_n + y _п, n = 1, 2,..., ограниченная и к тому же расходящаяся.

Частичные пределы. Верхний и нижний пределы. П. (конечный и бесконечный) к.-л. подпоследовательности наз. частичным пределом последней. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больца-но - Вейерштрасса), а из всякой неограниченной - бесконечно большую. В множестве всех частичных П. последовательности всегда имеется как наибольший, так и наименьший (конечный или бесконечный). Наибольший (соответственно наименьший) частичный П. последовательности х_п, п = 1, 2,..., наз. её верхним (соответственно нижним)
[ris]

Последовательность имеет конечный или бесконечный П. тогда и только тогда, когда её верхний П. совпадает с нижним, при этом их общее значение и является её П. Конечный верхний П. последовательности можно также определить как такое число а, что при любом б> 0 существует бесконечно много членов последовательности, больших, чем а-е, и лишь не более, чем конечное число членов, больших, чем а + е.

Предел функции. Пусть функция f, принимающая действит. значения, определена в нек-рой окрестности точки х₀, кроме, быть может, самой точки х ₀. Функция f имеет П. в точке х₀, если для любой последовательности точек х_п, n = 1, 2,..., x_n не= x₀, стремящейся к точке х ₀, последовательность значений функции f(x_n,) сходится к одному и тому же числу А, к-рое и наз. пределом функции f вточке х₀(или при х-> x ₀ ), при этом пишется
[ris]

В силу этого определения на П. функций переносятся свойства П. суммы, произведения и частного последовательностей, а также сохранение неравенств при предельном переходе.

Определение П. функции можно сформулировать и не прибегая к понятию П. последовательности: число А наз. пределом функции f в точке x₀, если для любого числа е> 0 существует такое число б> 0, что для всех точек х не= х₀, удовлетворяющих условию | х -x₀|< б, х не= х ₀, выполняется неравенство | t(x)-A\< e.

Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция х^a, показательная функция а^x, тригонометрические функции sin х, cos х, tg х и ctg х и обратные тригонометрические функции arc sin х, arc cos х, arc tg x и arc ctg x во всех внутренних точках своих областей определения имеют П., совпадающие с их значениями в этих точках. Но это не всегда бывает так. Функция
[ris]

являющаяся суммой бесконечной гео-метрич. прогрессии со знаменателем q = l/(l + x²), 0< < 7< 1, в точке х = 0 имеет П., равный 1, ибо /(*)=1 + лг² при х^О. Этот П. не совпадает со значением функции f в нуле: f(0)-Q. Функция же
[ris]

Примером функций, всегда имеющих П., являются монотонные функции. Так, если функция f определена на интервале (а, b) н не убывает, то в каждой точке х, а< х< b, она имеет конечный П. как слева, так и справа; в точке а П. справа, к-рый конечен тогда и только тогда, когда функция f ограничена снизу, а в точке b П. слева, конечный в том и только в том случае, когда функция ограничена сверху. В общем же случае стремление к П. может носить разный, необязательно монотонный характер. Напр.,
[ris]

мится к нулю, бесконечное число раз переходя от возрастания к убыванию и обратно.

Т. н. внутренний критерий (критерий К о ш и) существования П. функции в точке состоит в следующем: функция f имеет в точке x₀П. в том и только
[ris]

означает, что для любого е> 0 существует такое б> 0, что для всех х, удовлетворяющих условию х< -б, выполняется неравенство f(x)> е.

Расширение понятия предела функции. Если функция f определена на нек-ром множестве Е числовой прямой и точка х₀такова, что в любой её окрестности имеются точки множества Е, то аналогично данному выше определению П. функции, заданной в нек-рой окрестности точки х ₀, кроме, быть может, самой точки х ₀, определяется понятие предела функции по множеству Е
[ris]

для этого следует лишь в определении П. всегда дополнительно требовать, чтобы точка х принадлежала множеству Е: х ПРИНАДЛЕЖИТ Е. П. последовательности х_п, п = 1, 2,..., является при таком определении понятия П. частным случаем П. функции по множеству, а именно функции f, определённой на множестве натуральных чисел п формулой f(n)=x_n, n = 1, 2,....

Функция, равная нулю при рациональных х и единице при иррациональных, не имеет П. при x-> 0, однако по множеству рациональных чисел она при x-> 0 имеет П., равный нулю. Понятие П. числовой функции по множеству переносится и на функции многих переменных. В этом случае можно говорить, в частности, о П. в данном направлении, о П. по данной кривой, по данной поверхности и т. д. Кроме того, для функций многих переменных возникает понятие повторного предела, когда предельный переход совершается последовательно по разным [ris]

Распространяется понятие П. и на функции, к-рые могут принимать не только действительные, но и комплексные значения.

Предел интегральных сумм. Ещё одно важное понятие П. возникает при определении интеграла. Пусть, напр., функция f определена на отрезке [а, b]. Совокупность {xi} таких точек xi, что

[ris]

суммой функции f. Число А является пределом интегральных сумм и наз. определённым интегралом:

[ris]

Понятие П. интегральных сумм может быть введено и с помощью П. последовательности.

Обобщения понятия предела. Ввиду разнообразия употребляемых в математике спец. видов понятия П. естественно возникло стремление включить их как частный случай в то или иное общее понятие П. Напр., можно ввести понятие П., обобщающее как понятие П. функции, так и понятие П. интегральных сумм. Система S непустых подмножеств некоторого множества Е наз. направлением, если для каждых двух подмножеств А и В этой системы выполняется одно из включений Лей или ВсЛ и пересечение всех множеств из S пусто. Пусть на множестве Е задана числовая функция f. Число а наз. пределом функции f по направлению S, если для любого е> 0 существует такое множество А из S, что во всех его точках выполняется неравенство | f(x)-а|< е. При определении П. функции f в точке х₀ за направление следует взять совокупность всех окрестностей этой точки с достаточно малыми радиусами за вычетом самой точки х₀. При определении П. интегральных сумм функции f, заданной на отрезке [a, b], следует рассмотреть множество Е, элементами к-рого являются всевозможные разбиения отрезка [а, b ] с выбранными в них точками R_i Подмножества Е_п множества Е, отвечающие разбиениям, длины Д xi отрезков к-рых не превышаютт), образуют направление. П. интегральных сумм (к-рые, очевидно, являются функциями, определёнными на множестве Е) по указанному направлению является интеграл.

Понятие П. обобщается на более широкие классы функций, напр. на функции, заданные на частично упорядоченных множествах, или на функции, являющиеся отображениями одного пространства (метрического или, более общо, топологического) на другое. Наиболее полно задача определения П. решается в топологии и означает в общем случае, что нек-рый объект, обозначенный f(x), меняющийся при изменении др. объекта, обозначенного через х, при достаточно близком приближении объекта х к объекту х₀ сколь угодно близко приближается к объекту А. Основным в такого рода понятиях П. является понятие близости объектов х и х₀, f(x) и А, к-рые нуждаются в математич. определении. Только после того как это будет сделано, высказанному определению П. можно будет придать чёткий смысл и оно станет содержательным. Различные понятия близости и изучаются, в частности, в топологии.