в) Эпистемическая логика и теория возможных миров.

+

Таблица замкнулась, данная формула является законом эпистемической логики. Аналогичным образом можно строить аналитические таблицы для любых флрмул эпистемической логики.

Современные достижения эпистемической логики показвают плодотворность использования ее средств совместно со средствами из другиз разделов модальной логики.

Контрольные вопросы и упражнения.

1. Определение алетической логики.

2. Характеристика основных логических модальностей.

3. Алфавит языка пропозициональной алетической модальной логики.

4. Понятие возможного мира в алетической модальной логике.

5. Алетически возможные миры.

6. Отношение достижимости.

7. Понятие «описание состояний».

8. Определение алетических модальных операторов посредством аналитических правил.

9. Побудова аналітичних таблиць.

10. Являются ли приведенные формулы формулами алетической пропозициональной логики?

а) à p É à à p

б) ð p É Ø à à Ø p

в) à Ø р & ð p

г) ð à Ø p

11. Приведите примеры высказыаний, соответствующих приведенным формулам:

а ) ð (p É q) É ð p É ð q

б) à p & ð q

в) (Ø à p Ú Ø à q) É Ø (à p & à q)

г) ð p É p

д) Ø (à Ø p É Ø p)

е)Ø (Ø p É Ø à p)

12. Построить аналитические таблицы для следующих выражений:

а) ù Ø p É Ø ð p

б) ð p É ð à ð p

в) à ð p É à p

г) ð (p É q) É (ð p É ð q)

д) ð q É (p É ð q)

е) ð ð q É (p É ð q)

13. Предпосылки возникновения темпоральной логики.

14. Алфавит языка темпоральной логики высказываний.

15. Определение временных модальностей.

16. Основные законы временной логики.

17. Выразимость темпоральных модальностей друг через друга.

18. Понятие темпорально возможного мира.

19. Понятие изменения.

20. Определение момента времени.

21. Характеристика временного потока.

22. Аналитические правила для темпоральных модальностей.

23. Являются ли приведенные ниже выражения формулами темпоральной пропозициональной логики?

а) Gp É GHp

б) FpH É FØ Fp

в) Fp É FØ Fp

г) pqF & pH

д) p & pH

е) G É pØ H

24. Приведите примеры высказываний, соответствующих следующим формулам:

а) Gp É GGp

б) Hp É Fp

в) Gp É Fp

г) p É Pp

д) Fp É FØ Fp

25. Построить аналитические таблицы для следующих выражений:

а) p É Hp

б) (p É q) É (Gp É Gq)

в) Hp É HHp

г) Hp É Pp

д) Pp É p Ø Pp

26. Определение деонтической логики.

27. Структура нормы.

28. Виды норм.

29. Характеристика деонтического высказывания.

30. Суть дискуссии вокруг «дилеммы Йоргенсена».

31. Алфавит языка пропозициональной деонтической логики.

32. Определение деонтических операторов.

33. Понятие деонтически возможного мира.

34.Аналитические правила в табличной формулировке деонтической логики.

35. Установить, являются ли приведенные выражения формулами деонтической логики:

а) G (p & Ù q) É (Gp & Ù Gq)

б) O (p & q) ≡ (Op & Oq)

в) OP É (Pq & Fq)

д) OOØ p É Ø PPp

е) Fp É PPp

ж) q É pOq

з) p É Opp

36. Построить аналитические таблицы для следующих выражений:

а) Op É Ø O Ø p

б) O (p Ú q) É (Pp Ú Pq)

в) O (p Ú q) É (Op Ú Oq)

г) Op É OOp

д) p É OPp

е) OOØ p É Ø PPp

37. Характерные особенности эпистемических модальностей.

38. Определение эпистемических модальностей.

39. Логика знания и логика убежденности.

40. Алфавит пропозициональной эпистемической логики.

41. Понятие эпистемически возможного мира.

42. Указать, являются ли приведенные выражения формулами эпистемической логики:

а) Ø Oa Oap

б) Ø Ka Kap

в) OKa É Cap

г) Kap É p

д) Kap É Bap

е) apC & Bap

ж) aBp É Kap

43. Привести примеры высказываний, соответствующих следующим формулам:

а) Kap É p

б) Ka (p É q) É (Kap É Kaq)

в) (p É q) É (Kap É Kaq)

г) Kap Ú Cap Ú Oap

44. Построить аналитические таблицы для следующих формул:

а) Ka (p É p)

б) Ø Ka (p Ú Ø p)

в) Ø Ka (p & q) É (Ø Kap & Kaq)

г) Ka (p & p) É Kaq

[1] Аристотель. Метафизика. – М., 1934. С.186.

[2] Можно и так определить суть данного закона: Закон тождества запрещает изменять предмет мысли, а также

содержание (смысл) используемых посылок на протяжении данного рассуждения [прим перев. ].

[3] То есть если a=c, c=b, то a=b [прим. перев.]

[4] Аристотель. Метафизика. С.187.

[5] Более точная формулировка данного закона: не могут быть одновременно истинными противоречащие либо противоположные суждения [прим. перев.]

1 Арістотель. Метафізика. – С.23.

[6] См. примечания переводчика в конце учебника.

[7] Тем не менее боьшинство математиков не разделяют взглядов интуиционистов [прим перев.]

1 Лейбниц Г. Сочинения в четырех томах. Т.1. М., 1982, С. 418.

1 Гегель Г.В.Ф. Наука логики. – М., 1971. – С.73.

1 Можно сказать, что общение также является передачей информации от одного коммуниканта к другому. Но мы имеем в виду технический перевод информации с одного уровня на другой по строго определенным правилам.

[8] В суждениях 1, 2, 4 связка опущена, как это обычно делается в русском языке [прим. перев.]

1 Клини С. Математическая логика. – М.: Мир, 1973. – С.12

1 Смирнова Е.Д. Основы логической семантики. – М.: Высшая школа, 1990. – С.13.

1 Такие суждения, как «Некоторые деревья являются морозоустойчивыми», «Некоторые треугольники являются равнобедренными», «Некоторые теории являются гуманитарными» обладают одной и той же логической структурой, которую можно записать в виде формулы «Некоторые S суть P».S и P выражают в этих суждениях различные по содержанию понятия. Слова «некоторые», «являются (суть)» фиксируют одни и те же логические связи. Те знаки-символы в формулах логики, которые заменяются конкретными понятиями, называются переменными (имеются в виду S и P). Те символы (слова), которые присутствуют во всех мыслях с конкретным содержанием, имеющих одинаковую логическую структуру, называются логическими постоянными (в наших примерах это слова «некоторые» и «являються (суть)». Термин «переменная» широко используется в математике. В ней он употребляется в двух значениях: «переменная величина» и «переменный знак в формулах». В математике «переменная величиная» – это аргумент или функция. То есть такая величина (у), которая зависит либо не зависит от изменения другой величины (х). Под переменным знаком математики понимают знак, на место котрого можно подставлять, в соответствии с определенными правилами, имена индивидуальных предметов. Собственно, переменная – не имя, а пустое место для конкретних имен. Например, в выражении (а + х) = (х + а) знаки «х» и «а» являютьсяпеременными во втором смысле. Именно в этом смысле понимаются переменные в логике. При построении логической теории символами обозначают и логические переменные, и логические постоянные. Благодаря этому можно не только существенно сократить запись, но и избавиться от многознгачности слов, с помощью которых мы выражаем логические постоянные. Например, слова «если, то», соединяя два предложения, могут выражать причинне святи, временне святи, условные святи. Но в логике мы отвлекаемся от этих смысловых оттенков слов «если, то» и с помощью логического термина «импликация» придам один и тот же смысл любому сложному высказыванию, образованному из двух простых путем объединения их словами «если, то», А именно, если высказывание, стоящее перед «то», истинное, а стоящее после «то» - ложное, то в целом сложное высказывание будет ложным, а во всех остальных случаях – истинным.

1 Понятно, что не сами отношения являются логическими терминами, а слова и словосочетания, с помощью которых зафиксированы данные отношения.

1 Конверсией импликации А É В (или обращенной импликацией називается высказывание, у которого антецедентом является консеквент исходной импликации, а консеквент – антецедентом: В É А.

1 О понятии смысла уже шла речь, когда рассматривались уровни семиотического анализа знаковых систем. Но сейчас мы акцентируем внимание на одном из видов знаков – на именах.

[9] Разумеется, не у самого Аристотеля, писавшего на древнегреческом языке, а в более поздних переводах логики Аристотеля на латынь (прим. перев.)

1 Силлогизм называется кажущимся, если он создает лишь видимость получения достоверного заключения.

[10] Разумеется, речь не идет о метаязыке, который может быть как содержательным, так и формализованным (прим. перев.).

1 Описательные термы образуют с помощью двух операторов: i - йота оператор (оператор определенной дескрипции) и h - эта оператор (оператор неопределенной дескрипции). С помощью i - оператора мы выражаем имя единичного (единственного в своем роде, неповторимого) предмета, то есть i - оператор указывает на наличие предмета и определяет конкретные, только ему присущие признаки (или комбинацию признаков). Читается i - оператор так: «i а – такой предмет а, который...”. Например, “Самый высокий студент нашей группы”.

Оператор неопределенной декскипции h - указывает на один из предметов данного класса, но не определяет, какой именно. Например, “Студент нашей группы, который знаком со всеми преподавателями”. Читается данный оператор так: «h а – (один из) таких предметов а, что…».

В естественном языке данные операторы используют прежде всего для того, чтобы при обозначении индивидуального предмета раскрыть его специфику, развернуть структуру соответствующего индивидуума, сообщить о нем дополнттельную информацию (чего не делают собственные имена). Например, сравните: ”Байкал” и “Крупнейшее озеро в мире”.

Операторы определенной и неопределенной дескрипции при применении их к пропозициональной функции образуют терм, некоторое имя: i х f(х) – “ тот х, который обладает свойством f ”, или h х f(x) - “(один из) таких х, что обладают свойством f”.

1 Для слов естественного языка характерно явление омонимии, когда одно слово обозначает несколько предметов (например, ключ, коса, лук). Для слов естественного языка характерно и обратное омонимии явление – синонимия, когда несколько слов обозначают один и тот же предмет (например, лингвистика и языкознание, квадрат и равносторонний прямоугольник).

1 Статус существенности или несущественности признака устанавливается за пределами логики. Логика лишь определяет, как структурно взаимодействуют различные по статусу признаки при формировании понятия, а также при его использовании в процессе рассуждения.

[11] К тому же содержащими не слишком большое число элементов [прим. перев.]

[12] Подобное графическое изображение отношений между понятиями получило название «круги Эйлера» по имени

немецкого математика XVIIIв. Л.Эйлера.

1 Известно, что в кавычки заключаются термы, собственные имена.

[13] Имеется в ивду повествовательное предложение.

[14] Вместо категорического суждения говорят о категорическом высказывании, вместо сложного суждения говорят о сложном высказывании и.п.

1 Здесь имеются в виду непосредственные умозаключения, основанные на перестройке логической структуры категорического суждения как посылки (обращение, превращение, противопоставление предикату).

1 Виражения, построенные в логике предикатов, называют «формулами» потому, что их можно отождествлять, различать, сравнивать только по внешним признакам, то есть по форме.

1 Это же касается формализации общеутвердительных и общеотрицательных суждений.

1 Виды логических союзов и условия их истинности рассматриваются в §3, ІУ-го раздела данного учебника.

[15] Количество связок может быть различным, но их система должна быть функционально полной. То есть с помощью функцій данной системы возможно выразить любую функцію истинности.

² Начальные большие буквы латинского алфавита относятся к метаязыку. Они являются не формулами языка-объекта, а схемами таких формул. Каждая из подобных схем может обозначать бесконечное множество формул языка-объекта. Например, p, Ø p Ú q, p & Ø q и т.д.

1. |= - это знак логического следования.

1 Модус – это слово из латинского языка, означающее меру, образ, способ.

2 Альтернатива – здесь один из членов разделительного суждения.

1 Обозначения на схеме: ПКД, СКД, ПДД, СДД означают, соответственно, простую конструктивную дилемму, сложную конструктивную дилемму, простую деструктивную дилемму, сложную деструктивную дилемму.

1 Перечисленные в пункте а) виды непосредственных умозаключений основываются на перестройке логической структуры посылки, в качестве которой выступает категорическое суждение одного из изученных выше видов (A, E, I, O).

1 Соответствующие названия имеют правильные модусы остальных фигур. Модусы ІІ фигуры - Сеsare, Camestres, Festino, Baroco; модусыІІІ фигуры - Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison, модусы ІУ фигуры - Bramalip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison.

[16] Рассмотрение проблемы адекватной формулировки силлогистики в логике предикатов выходит за рамки общеобразовательного учебника пологике (прим. перев.).

1 Слово «все» употребляется в значении, что N, K, M, Z исчерпывают класс близких родственников.

1 Данный пример содержит ошибку, которая часто встречается в популярной индукции: “ поспешное обобщение”.