Наибольшее и наименьшие значения ( глобальные экстремумы ) функции двух переменных в замкнутой области

Пусть функция z=f(x, y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда в области D она достигает своих наименьшего и наибольшего значений, причем эти значения достигаются либо внутри области D, либо на границе. Точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения в ограниченной замкнутой области, называют также точками абсолютного или глобального экстремума. Если наибольшее или наименьшее значения достигаются во внутренних точках области, то это точки локального экстремума функции z=f(x, y). Таким образом, точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения являются либо локальными экстремумами, либо граничными точками области.

Следовательно, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в ограниченной замкнутой области D, следует вычислить значение функции в критических точках области D, а также наибольшее и наименьшее значения функции на границе.

Если граница задана уравнением φ (x, y)=0, то задача отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на границе области D сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений (абсолютного экстремума) функции одной переменной, так как уравнение границы области D - φ (x, y)=0 связывает переменные x и y между собой. Значит, если разрешить уравнение φ (x, y)=0 относительно одной из переменных или параметрические уравнения границы области D и подставить их в уравнение z=f(x, y), то придем к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной. Если уравнение φ (x, y)=0 невозможно разрешить относительно одной из переменных или невозможно найти параметрическое задание границы, то задача сводится к отысканию условного экстремума.

13. Задача об объеме цилиндрического тела.

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией L, являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x, y), P= (x, y) Î D – произвольные ф-ции определенные и ограниченные на D. Диаметром области D наз. наибольшее расстояние между граничными точками. Область D разбивается на n частых областей D1…Dn конечным числом произв. кривых. Если S – площадь D, то DSi – площадь каждой частной области. Наибольший из диаметров областей обозн l. В каждой частной области Di возьмем произв. точку Pi (xi, Di) Î Di, наз. промежуточной. Если диаметр разбиения D l à 0, то число n областей Di à ¥. Вычислим зн-ие ф-ции в промежуточных точках и составим сумму: I = f(xi, Di)DSi (1), наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция f(x, y) наз. интегрируемой в области D если существует конечный предел интегральной суммы.

Двойным интегралом ф-ии f(x, y) по области D наз. предел интегральной суммы при l à 0. Обозн:

или

Рассмотрим тело V, которое сверху ограничено поверхностью с образующими, параллельными оси z, снизу – плоской фигурой P на плоскости xy. Требуется найти объём V тела. Разложим область P сетью кривых на части , , …, и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности составляют данное тело. Для подсчета объема отдельных столбиков возьмём произвольно в каждой фигуре по точке: . Если приближенно принять каждый столбик за настоящий цилиндр с высотой, равной аппликате , то объём отдельного столбика оказывается приближенно равным , где означает площадь фигуры. В таком случае приближенное выражение объёма всего тела будет: . Для повышения точности этого равенства будем уменьшать размеры площадок , увеличивая их число. В пределе, при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех областей , это равенство делается точным, так что Предел этого вида и есть двойной интеграл от функции по области P. .