Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Дифференцирование степенных рядов
|
|
Теорема 1. Если степенной ряд s(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3...+ аnхn +...(1) имеет интервал сходимости (— Ry R), то ряд ϕ (x) = a1+ 2а2х + 3а3х2 +... + nаn 
+..., (2) полученный почленным дифференцированием ряда (1), имеет тот же интервал сходимости (—R, R) при этом ϕ (х) = s' (х), если |x|< R, т. е. внутри интервала сходимости производная от суммы степенного ряда (1) равна сумме ряда, полученного почленным дифференцированием ряда(1) Доказательство.Докажем, что ряд (2) мажорируем на любом отрезке [—р, р]„ целиком лежащем внутри интервала сходимости.Возьмем точку Ɛ такую, что р < Ɛ < R (рис. 1). В этой точке ряд (1) сходится, следовательно, 
, поэтому можно указать такое постоянное число М, что 
< M(n=1, 2,..) Если |х|< р, тo 
≤ 
|=n 
|| 
|n-1< n 
qn-1 где q= 
Таким образом, члены ряда (2) при |x|≤ р по абсолютной величине меньше членов числового положительного ряда с постоянными членами (1+2q+3q2+..+nqn-1+..) Но последний ряд сходится, в чем можно убедиться, применяя признак Даламбера: 
=q< 1 Следовательно, ряд (2) мажорируем на отрезке [—р, р], и на Основании теоремы его сумма есть производная от суммы данного ряда на отрезке [—р, р], т. е. ϕ (x)=s`(x) Так как всякую внутреннюю точку интервала (—R, R) можно заключить в некоторый отрезок [—р, р], то отсюда следует, что ряд (2) сходится в любой внутренней точке интервала (—R, R). Докажем, что вне интервала (—R, R) ряд (2) расходится. Допустим, что ряд (2) сходится при х1 > R. Интегрируя его почленно в интервале (0, х2), где R < x2 < x1 мы получили бы, что ряд (1) сходится в точке х2 а это противоречит условиям теоремы. Таким образом, интервал (—R, R) есть интервал сходимости ряда (2). Теорема полностью доказана. Ряд (2) снова можно почленно дифференцировать и продолжать так сколь угодно раз. Таким образом, получаем вывод: Теорема 2. Если степенной ряд сходится в интервале (—R, R), то его сумма представляет собой функцию, имеющую внутри интервала сходимости производные любого порядка, каждая из которых есть сумма ряда, получающегося в результате почленного дифференцирования данного ряда соответствующее число раз; при этом интервал сходимости каждого ряда, получившегося в результате дифференцирования, есть тот же интервал (— R, R).
46. Ряды по степеням (x–a). К степенным рядам относятся: 
(1)Где 
есть постоянные коэффициенты степенного ряда.Находим область сходимости: 
; Для нахождения радиуса сходимости: 
; 
; 
Отсюда:
 |
|X| > R
47. Ряды Тейлора и Маклорена. Пусть задана фун. y=f(x) которая имеет все производные до (n+1) включительно в какой-то точки x0 принадлежащей некоторому промежутку Найдем такой многочлен y=Pn(x) значения которого в точке x0 равны значениям этой функции и причем производные любого порядка тоже равняются.Pn(x0) =f(x0); Pn / (x0) =f / (x0); …….. Pn(n)(x0) =f(n)(x0) (1) Pn(x)=C0+C1(x-x0)+C2(x-x0)2………Cn(x-x0)n ; Pn / (x)= C1+2C2(x-x0)………nCn(x-x0)n-1………….
Pn(n)(x)= n! Cn; С0=f(x0); 1*С1=f / (x0); 1*2С2=f // (x0); …………… n! Сn=f (n) (x0); Pn(x)=f(x0)+(f /(x0)(x-x0)) / (1!) +(f // (x0)(x-x0)2 ) / (2!)+……..+(f(n)(x0)(x-x0)n ) / (n!) ….(2)
f(x)=Pn(x)+Rn(x) Можем показать что остаток Rn(x) при х→ х0 есть величина бесконечно малая большая чем (х-х0)n ; Rn(x)=0*((х-х0)n O малое.(3) Учитывая (2) и (3) получим f(x)= f(x0)+(f /(x0)(x-x0)) / (1!) +(f // (x0)(x-x0)2 ) / (2!)+….+(f(n)(x0)(x-x0)n ) / (n!)+0*((х-х0)n)… (4); (4)- формула Тейлора для фун. f(x) в окрестности точки х0 с дополнением(остаточным членом в форме Пеано) Полученная формула является обобщенной формулой для приращения функции f(x)= f(x0)+(f /(x0)(x-x0)) +0*((х-х0)n) (из (4) следует что n=1) Данное представление для f(x) в окрестности х0 является единственным.Пусть в окрестности х0 фун. f(x) имеет два представления f(x)=A0+A1(x-x0)+A2(x-x0)2+……An(x-x0)n +0*((х-х0)n)………..(5); f(x)=A0 /+A1 / (x-x0)+A2 / (x-x0)2+……An / (x-x0)n +0*((х-х0)n)……….(6); приравняем (5) и (6) и устремим х→ х0; (5)=(6)………………..(7); А0=А0 /…….Аn=Аn / х-х0=∆ х f(x)-f(x0)= ∆ y; ∆ y= (f /(x0) ∆ х) / (1!)+ (f // (x0) ∆ х 2 ) / (2!)+….+(f(n)(x0) ∆ х n ) / (n!)+0*(∆ х n)…….(8) Соотношение (8) является обобщенной формулой приращения функции ∆ f(x0)=f / (x0) ∆ х+0*(∆ х n) Рассмотрим (4) с остаточным членом в форме Лангранжа f(x)= f(x0)+(f /(x0)(x-x0)) / (1!) +(f // (x0)(x-x0)2 ) / (2!)+….+(f(n)(x0)(x-x0)n ) / (n!)+Rn(x)..(9); Rn(x)= {(x-x0)n+1 / ((n+1)!)}* fn+1(x0+Q(x-x0)) ……(10); 0< Q(x-x0)< 1. Если f(x) имеет производные всех порядков в окрестности точки х0 то в формуле Тейлора (9) число n можно брать сколь угодно большое, тогда ряд (9) сходится и фун. f(x) если 
n(x)=0 Если в формулах (9) и (10) положить х0=0 то данные формулы примут вид: f(x)= f(0)+(f /(0)x) / (1!) +(f // (0)x2 / (2!)+….+(f(n)(0)xn / (n!)+Rn(x)…….(11); Rn(x)= {(x)n+1 / ((n+1)!)}* fn+1(Q(x)); 0< Q< 1; (11)-Ряд Маклорена.Существует такое х0 и R что в интервале (х0-R; x0+R) что данная функция разложиться в ряд Тейлора и Маклорена. Если для какой ни будь функции формально записан ряд Тейлора, то чтобы доказать что ряд представляет данную функцию необходимо доказать что остаточный член=0 либо иным способом доказать что написанный ряд сходится к данной функции
48. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
49. Интегрирование дифур с помощью рядов. 1 способ: В исходный дифур. Подставляем y в виде степенного ряда. 
Приравнивая коэф-ты при одинаковых степенях х получаем систему уравнений для опр-я коэф-в.
2 способ(ур-е вида 
; 
; 
Продолжая этот процесс можно получить все слагаемые
|
|