Касательная к плоскости и нормаль к поверхности.

Если поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0 и точка М₀ (x₀, y₀, z₀) лежит на ней, то: Касательная плоскость к поверхности в точке М₀ определяется уравнением (х-х₀)F’_x(M₀)+(y-y₀)F’_y(M₀)+(z-z₀)F’_z(M₀) = 0.Нормаль к поверхности в точке М₀ (прямая, проходящая через точку М₀ перпендикулярно к касательной плоскости) определяется уравнением (х-х₀)/F’_x(M₀) = (y-y₀)/F’_y(M₀) = (z-z₀)/F’_z(M₀).Точки поверхности F(x, y, z) = 0, где одновременно обращаются в 0 все частные производные первого порядка F’_x, F’_y, F’_z называют особыми. В таких точках поверхность не имеет ни касательной плоскости, ни нормали.

11. Необходимые и достаточные условия экстремума. Необходимые условия экстремума. , ОПР1. Ф-ция имеет локальный максимум(минимум) в если сущ-ет такая окрестность , что для М из окр-сти : если выполн усл max, если выполн обр усл то min. . 1)Если для всех дост. малых приращ. независ. пер-ной, то ф-я достигает max в 2)Если для всех дост. малых приращ. независ. пер-ной, то ф-я достигает min в Если ф-я достигает экстремума в , то частные производные первого порядка или обр в 0, или не сущ., или равны .Пусть имеет экс-мум в , то

(1)

Кас. поскость параллельна при нулевых частных производных

Предположим что ф-я опр, непрерыв и имеет непрерыв частные производные 1-го и 2-го порядка опр. и не прерыв. в окрест : то в этой точке имеем экстремум, min, max. Если нет экстремума. При необход исслед высшие проиводныею. Задача о наиб и наим знач ф-ции 2-х переменных в заданной обл-сти: 1) Если наиб и наим знач достигается внутри этой области то оно явл экстремальным.Но если оно достигается на границе, то необход исслед на границе 3)Из эксрем. знач и значений на границе выбрать наиб и наим знач.