Лагранждың 2- түр теңдеулерін қолданып динамиканың есептерін шешу

Лагранждың II тү р тең деуін қ олданып динамиканың есептерін шешу тө мендегідей ретте орындалады:

1. Берілген системаның еркіндік дә режесі анық талады.

2. Жалпыланғ ан координаталар таң дап алынады.

3. Системаның кинетикалық энергиясы есептелінеді жә не ол жалпыланғ ан жылдамдық тар арқ ылы ө рнектеледі.

4. Жалпыланғ ан кү ш табылады.

5. Лагранждың II тү р тең деулері тү зіледі.

6. Тү зілген тең деуден керекті белгісіздер анық талады.

6.3-есеп. m₁ массалы DE стержень ә р бірінің массасы m₂ болғ ан ү ш дө ң гелек ү стінде жатыр. Стерженнің оң жағ ына горизонтал бағ ытталғ ан кү ші қ ойылғ ан. Ол стержень мен дө ң гелектерді қ озғ алысқ а келтіреді. Стержень DE нің ү деуі анық талсын.

6.3-сурет

Бір текті дө ң гелектер шең берлі цилиндр деп есептелінсін. Стержень мен дө ң гелектердің, дө ң гелектер мен горизонтал жазық тық тың арасындағ ы ү йкеліс есепке алынбасын (6.3-сурет).

Шешуі. С истемағ а қ ойылғ ан байланыстар идеал байланыстар болсын. Системаның орны DE стерженнің E нү ктесінің координатасы болғ ан ^__ жалпыланғ ан координата арқ ылы бірден-бір анық талады. Демек, системаның еркіндік дә режесі бірге тең.

DE стерженнің ү деуін анық тау ү шін Лагранждың II тү р тең деуін тү зу керек. Бұ л ү шін алдымен системаның кинетикалық энергиясын есептейміз. Системаның кинетикалық энергиясы стержень мен дө ң гелектердің кинетикалық энергияларының қ осындысынан тұ рады, яғ ни:

Т=Т_DE + T_{дө ң} . (6.32)

DE стержень ілгерілемелі қ озғ алыста болғ аны ү шін оның кинетикалық энергиясы тө мендегідей:

(6.33)

Дө ң гелектер жазық -параллель қ озғ алыста. Сол себептен де олардың кинетикалық энергиясы:

Т _{дө ң} .

Немесе

Т _{дө ң} (6.34)

Дө ң гелектердің жазық тық пен ортақ нү ктелері лездік жылдамдық тар орталығ ы болғ андығ ы ү шін

(6.35)

(6.35) тен:

. (6.36)

(6.35) ті (6.34) ке қ ойсақ:

Т _{дө ң} (6.37)

(6.33) ті (6.37) ні (6.32) ге қ оямыз, онда

(6.38)

Енді системағ а жалпыланғ ан координата бойынша мү мкін болғ ан кө шу беріп, жалпыланғ ан кү шті анық таймыз. Системағ а қ ойылғ ан кү штердің мү мкін болғ ан кө шу кезіндегі атқ арғ ан жұ мыстарының қ осындысын есептесек:

Жалпыланғ ан кү шті анық тайтын формула мен бұ ны салыстырсақ, онда

(6.39)

Системаның еркіндік дә режесі бірге тең болғ андық тан Лагранждың II тү р тең деуі де біреу болады, яғ ни

(6.40)

(6.38) ден:

(6.41)

(6.39) жә не (6.41) ді (6.40) қ а қ ойсақ, онда

келіп шығ ады.

Бұ л ө рнектен DE стерженнің ү деуі табылады:

.

6.4-есеп. Ұ зындығ ы l ге тең болғ ан бір текті AB стержені вертикал жазық тық та A шарнир (топса) тө ң ірегінде айлануы мү мкін. Стерженнің ауырлығ ы G=Mg ге тең. Стерженнің A ұ шы горизонтпен бұ рыш қ ұ рағ ан жазық тық бетінде ү йкеліссіз сырғ анайды. Стержень қ озғ алысының дифференциалдық тең деуі тү зілсін (7.4-сурет).

6.4-сурет

Шешуі. Системағ а қ ойылғ ан байланыстар идеал байланыстар болып, оның еркіндік дә режесі екіге тең. Демек, жалпыланғ ан координаталар да екіге тең болып, олар ү шін A нү ктенің кө лбеу жазық тық бойлап орын ауыстыруы жә не стерженнің вертикалдан бұ рышқ а ағ уы алынуы мү мкін.

Санақ жү йесі 6.4-суретте кө рсетілгендей таң далады. Стерженнің кинетикалық энергиясын есептейік.

Мұ ндағ ы

M^__ стержень массасы. S нү ктенің жылдамдығ ы жылдамдық тарды қ осу теоремасынан анық талады, яғ ни

Бұ л жердегі ^__ стерженнің инерция орталығ ының A нү кте тө ң ірегінде айналғ ан кездегі салыстырмалы жылдамдығ ы; ^__ S нү ктенің кө лбеу жазық тық қ а параллель болғ ан тасымалды жылдамдығ ы. Олардың мә ндері тө мендегідей:

6.4-суреттен (косинуслар теоремасына сү йеніп):

Нә тижеде

(6.42)

(6.42) ден:

(6.43)

Жалпыланғ ан кү штер тө мендегідей болады:

.

Немесе

. (6.44)

Мұ ндағ ы

G=Mg.

Енді Лагранждың II тү р тең деуін жазамыз:

(6.45)

(6.43) жә не (6.44) ті (6.45) ке қ оямыз:

Бұ л ө рнектер стержень қ озғ алысының дифференциал тең деулерін береді.