Проверка ошибок при оценке дисперсии

Для того, чтобы проверить возможные ошибки при оценке дисперсии исходной генеральной совокупности, имея две группы данных (выборка которых была сделана независимо друг от друга) и предполагая, что они получены из одной генеральной совокупности можно основываться на таблице распределения Фишера (F -распределение). При этом, сравнивая значение F₀, вычисленное из данных, с сопоставимыми значениями из таблиц F -распределения, принимают решение отклонить или принять нулевую гипотезу.

Таблица F -распределения составлена так, что большая несмещенная оценка дисперсии принимается за числитель. Следует также иметь в виду то, что таблица предназначена для односторонней проверки и если понадобится проводить двухстороннюю проверку соотношения дисперсий при уровне значимости a, то используют значения таблицы F -распределения для a /2 (рис.2.1).

Порядок проверки гипотезы:

1. Строят нулевую гипотезу:

Н₀: s_е1² = s_е2².

2. Строят альтернативную гипотезу:

Н₁: s_е1² ¹ s_е2² (двухсторонняя проверка),

s_е1² > s_е2² или s_е1² < s_е2² (односторонняя проверка).

3. Определяют несмещенные дисперсии s_е1², s_е2² из каждой выборки:

s_е1² = S₁/Ф₁, Ф₁ = n₁ - 1, (2.3)

s_е2² = S₂/Ф₂, Ф₂ = n₂ - 1. (2.4)

4. Определяют соотношение несмещенных оценок дисперсии F₀. В данном случае большее из двух s_е1², s_е2² принимается за числитель. Если s_е1² > s_е2², то определяется величина:

F₀ = s_е1²/s_е2².

5. Если за уровень значимости принять a, то при двухсторонней проверке из табл.3 Приложения определяют значение F_ф1, _ф2, a/ 2.

6. Выносят решение. Если: F₀ < F_ф1, _ф2, a/ 2, то принимают Н₀ и считают, что в оценке дисперсии расхождений нет.

Если же F₀ > F_ф1, _ф2, a/ 2, то принимают Н₁ и считают, что в оценке дисперсии имеется расхождение.

Пример 2.3.

Измерив по шкале С Роквелла значение твердости после закалки, произведенной на высокочастотных закалочных устройствах А и В, получили следующие данные для каждого из них:

Можно ли утверждать, что в оценке рассеивания значений имеется расхождение?

1. Н₀: s_А² = s_В²

2. Н₁: s_А² ¹ s_В².

3. По формуле (1.3) определяют сумму квадратов отклонений:

4. Определяют несмещенные оценки дисперсии:

s_А² = S_А/Ф_А = 1, 11/4 = 0, 2775

s_В² = S_В/Ф_В = 3, 25/5 = 0, 650.

5. Определяют отношение дисперсий:

F₀ = s_B²/s_A² = 0, 650/0, 2775 = 2, 34.

6. Сравнивают предельные значения из таблицы F- распределения (табл.3 Приложения) с F₀.

F_{5; 4; 0, 025} = 9, 36 > F₀.

7. Выносят решение. Принимается нулевая гипотеза Н₀, поскольку расхождения в оценках дисперсии от применения этих двух устройств не существенны.