Корреляционный анализ. На заводах и в лабораториях приходится часто проводить экспериментальное изучение зависимостей между случайными величинами x и y

На заводах и в лабораториях приходится часто проводить экспериментальное изучение зависимостей между случайными величинами x и y. Для этого производят некоторое количество n независимых опытов. Результат i -го опыта дает пару значений (x_i, y_i), i= 1, 2, …, n.

Когда непрерывным изменениям измеряемой величины x в некоторых характеристиках сопутствуют непрерывные изменения другой величины y, то утверждают, что между x и y имеется корреляция.

Метод, анализирующий корреляционную зависимость между несколькими переменными величинами, называют корреляционным анализом. В частности, когда переменных величин только две, анализ называется простым корреляционным анализом, когда же одновременно подвергают анализу более трех переменных величин, то анализ называют сложным корреляционным анализом. В данном разделе рассмотрим простой корреляционный анализ.

О наличии или отсутствии корреляции между двумя величинами можно судить по виду поля корреляции, нанося точки (x_i, y_i) на координатную плоскость. Такую фигуру называют корреляционной диаграммой (рис.3.1).

Рис. 3.1 Корреляционная диаграмма

Если провести прямые линии, параллельные оси абсцисс и оси ординат через точки (), то плоскость рисунка, на которой разбросаны точки, окажется разделенной на четыре части.

Корреляционная диаграмма показывает, что точки, расположенные в I секторе, будут превышать средние значения, а точки расположенные в III секторе, окажутся меньше средних значений.

I. > 0 > 0

III. < 0 < 0

> 0.

В обоих секторах при увеличении x увеличивается и y, или при увеличении y увеличивается x. В свою очередь сумма произведений отклонений, называемая корреляционным соотношением в первом и третьем секторах > 0, а во втором и четвертом секторах - < 0.

По корреляционному соотношению можно приблизительно понять степень корреляции, ибо, если эта сумма составит значительную положительную величину, то это будет положительной корреляцией, если же она составит значительную отрицательную величину - отрицательной корреляцией. Вместе с тем, если рассчитывать степень корреляции только по сумме произведений, то нужно учесть, что она изменяется в зависимости от рассеивания значений x и y. Поэтому в качестве критерия корреляции принимают сумму произведений, деленную на произведение корней квадратных из суммы квадратов каждого из отклонений x и y, что и называют коэффициентом корреляции:

(3.1)

Обозначая сумму квадратов х, сумму квадратов y, а также сумму произведений x и y соответственно через S_xx, S_yy, S_xy, то r можно выразить следующей формулой:

(3.2)

Коэффициент корреляции занимает промежуточное значение между -1 и +1. Причем, если вслед за увеличением x увеличивается и y, то коэффициент корреляции становится положительным, а если вслед за увеличением x уменьшается y, то он становится отрицательным. Поэтому при приближении r к единице, корреляция вполне вероятна, тогда как при приближении r к нулю она маловероятна. Поскольку r представляет собой статистическую величину, вычисленную на основании опытных данных, то необходимо проверить значимость коэффициента корреляции.

Оценку значимости коэффициента парной корреляции (проверку наличия корреляции) выполняют по формуле:

(3.3)

Подставив в вышеупомянутую формулу значение t_{ф, a}, получают предельное значение r_{ф, a}, с которым сравнивают r₀. При условии

ê r₀ ê > = r_{ф, a} принимается решение о наличии взаимосвязи. Поскольку для вычисления r используют два расчетных значения , то число степеней свободы Ф = n -2.

Пример. Проверить найденное в примере значение коэффициента корреляции.

Для n= 20, Ф = n – 2 = 20 – 2 =18; a = 0, 01

r_o= 0, 965, r_{ф, a} = 0, 561

т. к. r₀ > r_{ф, a}, значит r обладает высокой степенью значимости.