Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Определение арифметических действий над положительными рациональными числами. Законы сложения и умножения (с доказательством).




Обыкновенная дробь– это запись вида , где т – числитель, ,п - знаменатель, (п≠0). Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель – сколько таких частей взяли.

Например, - целое разделили на 5 равных частей и взяли 3 из них.

Если т˂п, то - правильная дробь.

Пример. ; ; .

Если т≥п, то - неправильная дробь.

Пример. ; ; ; .

Любую неправильную дробь можно превратить в смешанное число.

Любое смешанное число можно превратить в неправильную дробь.

Дроби равны, если они выражают длину одного и того же отрезка.

Рациональное число – это множество равных между собой дробей.

Рациональное число можно представить любым числом из соответствующего множества, но, чаще всего, рациональные числа выражаются несократимой дробью.

Несократимая дробь – это обыкновенная дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами (НОД (т,п)=1. Например, 3 и 5, 4 и 21, 18 и 55 и др.).

Пример. ; ; . .

Множество положительных рациональных чисел обозначается .Множество натуральных чисел является подмножеством множества положительных рациональных чисел NÌ.

Суммой двух положительных рациональных чиселназывается такое положительное рациональное число, у которого в числителе сумма соответствующих числителей, а знаменатель общий.

,гдеи

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Сумма двух положительных рациональных чисел всегда существует и находится единственным образом.

Законы сложения:

· Переместительный:a+b=b+a

· Сочетательный закон: (a+b)+g=a+(b+g)

Докажем переместительный закон сложения.

Дано: ;,

Доказать: a+b=b+a.

Доказательство:

1) (по определению суммы на ).

2) (по определению суммы на ).

3) Рассмотрим дроби и .

(переместительный закон сложения на N), п=п Þ числители равны, знаменатели равны, следовательно дроби равны = (так как и )Þa+b=b+a.

Докажем сочетательный закон сложения.

Дано: ;, ,

Доказать: (a+b)+g=a+(b+g).

Доказательство:

1) (по определению суммы на ).

(по определению суммы на ).

2) (по определению суммы на ).

(по определению суммы на ).

3) Рассмотрим дроби и .

(сочетательный закон сложения на N), п=п Þ числители равны, знаменатели равны, следовательно дроби равны = . (так как и )Þ(a+b)+g=a+(b+g).

 

Разностью двух положительных рациональных чиселназывается такое положительное рациональное число, у которого в числителе разность соответствующих числителей, а знаменатель общий.

,гдеи , a˃b, ˃

Разностью двух положительных рациональных чисел a-bназывается такое положительное рациональное число g, которое будучи сложенным с b даст a.



a-b=gÛg+b=a

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Произведением двух положительных рациональных чиселназывается такое положительное рациональное число, у которого в числителе произведение соответствующих числителей, а в знаменателе произведение соответствующих знаменателей.

,гдеи

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Произведение двух положительных рациональных чисел всегда существует и находится единственным образом.

Законы:

· Переместительный:a·b=b·a

· Сочетательный закон: (a·b)·g=a·(b·g)

· Распределительный: (a+b)·g=a·g+b·g

Докажем переместительный закон умножения.

Дано: ;,

Доказать: a·b=b·a.

Доказательство:

1) (по определению произведения на ).

2) (по определению произведения на ).

3) Рассмотрим дроби и .

и (переместительный закон умножения на N) Þ числители равны, знаменатели равны, следовательно дроби равны = . (так как и )Þa·b=b·a.

Докажем сочетательный закон умножения.

Дано: ;, ,

Доказать: (a·b)·g=a·(b·g).

Доказательство:

1) (по определению произведения на ).

(по определению произведения на ).

2) (по определению произведения на ).

(по определению произведения на ).

3) Рассмотрим дроби и .

и (сочетательный закон умножения на N) Þ числители равны, знаменатели равны, следовательно дроби равны = (так как и )Þ(a·b)·g=a·(b·g).

Докажем распределительный закон умножения.

Дано: ;, ,

Доказать: (a+b)·g=a·g+b·g.

Доказательство:

1) (по определению суммы на ).



(по определению произведения на ).

 

 

2) (по определению произведения на ).

(по определению произведения на ).

(по определению суммы на ).

3) Рассмотрим дроби и .

(распределительный закон умножения на N), Þ числители равны, знаменатели равны, следовательно, дроби равны = (так как и )Þ(a+b)·g=a·g+b·g.

Частным двух положительных рациональных чиселназывается такое положительное рациональное число, у которого в числителе произведение числителя делимого на знаменатель делителя, а в знаменателе – произведение знаменателя делимого и числителя делителя.

,гдеи

Частным двух положительных рациональных чисел a:bназывается такое положительное рациональное число g, которое будучи умноженным на b даст a.

a:b=gÛg·b=a


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2018 год. (0.018 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал