Часть А. Теоретико-множественный смысл разности двух целых неотрицательных чисел

Теоретико-множественный смысл разности двух целых неотрицательных чисел. Условие существования разности на множестве целых неотрицательных чисел (с доказательством). Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, их теоретико-множественная интерпретация (с доказательством).

Определение. Разностью двух целых неотрицательных чисел а и в называется количество элементов в дополнении множества В до множества А, при условии, что а=п (А), в=п (В), ВÌ А.

а-в=n(А/В), где а=n(А), в=n(В) и ВÌ А

1) Объясним теоретико-множественный смысл разности 5 и 3

Пусть А= {а, в, с, d, е}, n(А)=5,

В={а, в, с}, n(В)=3, ВÌ А

Найдём А/В= {d, е}, где n(А/В) = 5-3=2 (по определению разности на множестве целых неотрицательных чисел).

2) Объясним теоретико-множественный смысл разности 3 и 0.

Пусть А={а, в, с}, n(А)=3,

В - «множество натуральных корней уравнения 4х+7=0», n(В)=0, ВÌ А

Найдём А/В= {а, в, с}, где

n(А/В) = 3-0=3 (по определению разности на множестве целых неотрицательных чисел).

3) Объясним теоретико-множественный смысл разности 3 и 3.

Пусть А={а, в, с}, n(А)=3,

В ={а, в, с}, n(В)=3, ВÌ А

Найдём А/В= {Æ }, где

n(А/В) = 3-3=0 (по определению разности на множестве целых неотрицательных чисел).

Теорема. Результат вычитания не зависит от выбора множеств.

Пример.

1. Во дворе гуляли 5 детей. 3 ребёнка ушли домой. Сколько детей осталось гулять во дворе? Решение: 5-3=2(д.).

2. За два дня туристы должны были пройти 5км. В первый день туристы прошли 3км. Сколько километров осталось пройти туристам? Решение: 2+3=5(км).

3. В гараже было 5 автомобилей. Утром из гаража выехало 3 автомобиля. Сколько автомобилей осталось в гараже? Решение: 5-3=2(авт.).

Теорема (условие существования разности). Для того, чтобы разность а и в существовала, необходимо и достаточно, чтобы в было не больше а.

Необходимое условие.

Дано: а-в – существует.

Доказать: в£ а.

Доказательство: а-в=n(А/В) (по определению разности), где а=n(А), в=n(В) и

ВÌ АÞ в£ а. (по определению данного отношения)

Достаточное условие.