Модель Марковица

Каждый инвестор пытается сформировать портфель ценных бумаг с возможно большей ожидаемой доходностью и возможно меньшим риском. Такая задача является достаточно сложной, поэтому инвесторы формируют эффективные портфели. Эффективными портфелями называются портфели, имеющие наименьший риск для заданной ожидаемой доходности или наибольшую ожидаемую доходность при заданном уровне риска. Сформировать эффективный портфель — значит найти доли капитала , которые следует вложить в ценные бумаги -го вида, чтобы получить наименьший риск при заданной ожидаемой доходности или наибольшую ожидаемую доходность при заданном уровне риска. Запишем вначале модель, определяющую структуру эффективного портфеля, имеющего наименьший риск при заданной ожидаемой доходности:

(5.2.10)

В модели (5.2.10) целевая функция представляет собой риск портфеля (см. (5.2.9)), который минимизируется, в первом ограничении ожидаемая доходность портфеля (см.(5.2.6)) полагается равной заданному значению , второе ограничение говорит о том, что сумма долей капитала инвестора равна 1. Модель (5.2.10) известна как модель Марковица.

Аналогично запишем модель, определяющую структуру эффективного портфеля, имеющего максимальную ожидаемую доходность при заданном уровне риска :

(5.2.11)

Пример 5.2.4. Записать модели, определяющие структуру эффективных портфелей, сформированных из ценных бумаг примера 5.2.2.

Решение. Ожидаемая доходность портфеля, сформированного из ценных бумаг примера 5.2.2 описывается формулой (5.2.6*), а риск этого портфеля — формулой (5.2.8*). Подставим эти формулы в модели (5.2.10) и (5.2.11), получим искомые модели:

если инвестор пожелает иметь уровень ожидаемой доходности равным 25 %;

,

если инвестор пожелает иметь уровень риска равным 60(%)².

Обозначим через , решение задач (5.2.10), (5.2.11), то есть , доли капитала эффективного портфеля. Если , то это означает, что инвестор должен вложить долю своего капитала в -ый вид ценных бумаг. Если же , то инвестору следует взять в долг с обязательством последующего возврата ценные бумаги -го вида на сумму, равную долей своего капитала. Взятые в долг ценные бумаги тут же реализуются инвестором, полученная сумма денег, равная долей капитала инвестируется в ценные бумаги видов j, в пропорциях , . Через некоторое время инвестор выкупает ценные бумаги вида i и возвращает первоначальному владельцу. Такое взятие в долг называется короткой продажей (short sale). Инвестор при этом рассчитывает на понижение курса ценных бумаг. Если взятие в долг невозможно, то в задачи (5.2.10) и (5.2.11) следует ввести дополнительное ограничение , .

Для решения задач (5.2.10) и (5.2.11) с дополнительным условием неотрицательности переменных и без него разработаны пакеты прикладных программ. Для решения этих задач в учебных целях можно использовать электронную таблицу Excel [16].

Использование информационных технологий для решения модели Марковица. Поскольку компьютерная реализация модели Марковица отличается от обычного расчета финансовых показателей, где применяется табличный процессор Excel, продемонстрируем решение модели на данных примера (5.2.4) в среде Excel.

На основе исходных данных о динамике доходности трех ценных бумаг следует рассчитать основные характеристики ценных бумаг с использованием встроенных функций:

1. Ожидаемая доходность `R_i, () ­– функция СРЗНАЧ();