Задача 6. Разветвленная электрическая цепь синусоидального тока, изображенная на рис

Разветвленная электрическая цепь синусоидального тока, изображенная на рис. 5.1, содержит два источника ЭДС и один источник тока. Параметры источников и сопротивления всех ветвей цепи известны. Требуется: а) составить систему уравнений для определения контурных токов; б) составить систему уравнений для определения узловых напряжений; в) написать, как определить токи в ветвях, если известны контурные токи, если известны узловые напряжения.

Рис. 5.1.

Решение:

а) Преобразуем источник тока в эквивалентный источник ЭДС:

В результате получим схему, показанную на рис. 5.2. Произвольно выбираем и показываем на схеме направления токов в ветвях и контурных токов.

Составляем систему уравнений по методу контурных токов. В общем виде:

Определим параметры системы уравнений:

– контурные токи, которые необходимо найти.

Рис. 5.2.

Суммы сопротивлений, входящих в контуры:

Z₁₁ = R + R = 3 + 3 = 6 Ом;

Z₂₂ = R + R + jX_L = 3 + 3 + j2 = 6 + j2 Ом;

Z₃₃ = R + R = 3 + 3 = 8 Ом

Общие сопротивления для контуров:

Z₁₂ = Z₂₁ = –R = –3 Ом;

Z₁₃ = Z₃₁ = 0;

Z₂₃ = Z₃₂ = –R = –3 Ом.

Суммы ЭДС, входящих в контуры:

Подставив найденные коэффициенты, получим:

Из контурных токов можно найти токи в ветвях цепи следующим образом:

б) Составляем систему уравнений по методу узловых потенциалов. В общем виде:

Принимаем узел 3 за базовый. – узловые потенциалы, которые необходимо найти. Определим параметры системы уравнений:

Y₁₁ = 1/R + 1/R + 1/jX_L = 1/3 + 1/3 + 1/j2 = 0, 667 – j0, 5 Cм;

Y₂₂ = 1/R + 1/R + 1/jX_L = 1/3 + 1/3 + 1/j2 = 0, 667 – j0, 5 Cм;

Y₁₂ = Y₂₁ = –1/jX_L = j0, 5 Cм;

J₁₁ = –E₁/R – E₃/R = –j5/3 + j9/3 = j1, 333 A;

J₂₂ = –E₂/R = j10/3 = j3, 333 A.

Подставив полученные коэффициенты, получим:

Из узловых напряжений можно найти токи в ветвях цепи следующим образом: