Визначення опорних реакцій

На балку діють розподілене і зосереджене навантаження, що утворюють плоску систему паралельних сил і зосереджений момент (рис. 2.1). При розрахунку балки на згинання треба знати всі діючі сили. Тут невідомі опорні реакції. Їх визначаємо, складаючи два рівняння моментів сил щодо опорних точок А і В.

Рис. 2.1. Схема навантаження балки

При визначенні знака момент сил щодо точок А і В умовно приймаємо додатнім, якщо він діє проти годинникової стрілки, і від’ємним – якщо в протилежному напрямку. Зосереджений момент не множиться на відстань до опори і його знак залишається тим же, що і для моменту сили.

Перевірку правильності обчислення опорних реакцій визначаємо з рівняння рівноваги , тобто сума проекцій усіх сил на вертикальну вісь y дорівнює нулю.

Величини реакцій знайдені вірно.

2.2. Визначення внутрішніх зусиль і побудова їх епюр

Для визначення внутрішніх силових факторів, що з'являються в балці при дії зовнішнього навантаження, застосовуємо метод перетинів. Суть його в наступному:

У якому-небудь перетині умовно розсікаємо балку на дві частини площиною перпендикулярною до осі x. Відокремлюємо одну з частин і розглядаємо рівновагу частини балки, що залишилася. Дію відкинутої частини заміняємо внутрішніми силовими факторами (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Внутрішні силові фактори, що виникають у поперечних перерізах балки

Оскільки у нашому випадку балка навантажена зовнішньою системою паралельних сил, що діють у площині xoy, то в поперечних перерізах виникають внутрішні силові фактори: поперечна сила Q_y і згинальний момент М_z. Поперечна сила Q_y діє в площині поперечного перерізу і проходить через його центр ваги, викликаючи деформацію зсуву. Згинальний момент М_z діє в площині перпендикулярній поперечному перерізу, викликаючи деформацію згинання. Інші внутрішні силові фактори Q_z, M_y, T, N відсутні.

Для визначення знака поперечної сили Q_y і згинаючого моменту М_z користуються наступними правилами:

- додатною вважається поперечна сила Q_y, що діє ліворуч від перетину і спрямована нагору, праворуч від перетину – униз (рис. 2.3, а):

- від’ємною, якщо поперечна сила Q_y має протилежні напрямки (рис.2.3, б);

- додатний згинальний момент М_z, діючий ліворуч від перетину, спрямований по ходу годинникової стрілки, праворуч від перетину – проти ходу годинникової стрілки (рис.2.3, в);

- від’ємний згинальний момент має протилежний напрямок (рис. 2.3, г).

Рис. 2.3. Правило знаків при згинанні для визначення поперечної сили Q (а, б) і згинаючого моменту М (в, г)

Або розглядаючи деформацію балки:

– додатний згинальний момент згинає горизонтальний стрижень опуклістю вниз, викликаючи розтягання нижніх волокон (рис.2.3, в);

– від’ємний згинальний момент згинає стрижень опуклістю нагору (рис. 2.3, г);

Невідомі внутрішні зусилля в поперечних перерізах балки визначаємо за допомогою наслідку з методу перетинів про рівність головного вектора і

головного моменту внутрішніх і зовнішніх сил, прикладених по одну сторону від розглянутого перетину.

Поперечна сила в перетині балки дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на вісь y усіх зовнішніх сил, які діють на відсічену частину розглянутої балки.

.

Згинальний момент у перетині балки дорівнює алгебраїчній сумі моментів зовнішніх сил щодо центра ваги цього перетину, які діють на відсічену частину.

.

Аналіз внутрішніх силових факторів буде наочним, якщо побудувати епюри – графіки зміни поперечних сил і згинальних моментів по довжині балки.

Для розглянутої балки (рис. 2.4, а) приймаємо початок координат у точці 0 на лівому кінці балки, направляючи вісь x уздовж балки. Початок координат можна приймати на будь-якому кінці балки.

Розбиваємо балку на силові ділянки. Границями ділянок є точки прикладення зовнішніх сил і моментів, а також точки початку і кінця дії розподілених навантажень.

Згідно рис. 2.4, а маємо три силових ділянки. У межах кожної ділянки проводимо довільний перетин і складаємо загальні рівняння для Q_y і М_z. Даючи аргументу довільні значення, знаходимо ординати епюр.

Ділянка I 0 £ x₁ £ 1.

Проводимо довільний перетин 1-1 на відстані x₁ від початку координат і відкидаємо праву частину балки. Знаходимо поперечну силу Q_y і згинальний момент М_z з урахуванням правила знаків.

– рівняння прямої лінії;

при х₁=0:

при х₁=1:

– рівняння параболи;

при х₁=0:

при х₁=1: .

Рис. 2.4. Розрахункова схема балки (а), епюри поперечної сили Q (б) і згинаючого моменту М (в)

Для побудови епюр Q_y і М_z (рис. 2.4, б, в) проводимо лінію паралельну осі балки і перпендикулярно до неї в обраному масштабі відкладаємо ординати граничних точок ділянки I, додатні значення нагору, від’ємні – вниз.

Ділянка II: 1 £ x₂ £ 5.

Аналогічно знаходимо Q_y і М_z для другої ділянки. Ліворуч від перетину 2-2 діє розподілене навантаження q по довжині балки x₂. Її проекція на вісь y буде qx₂, а момент відносного центра ваги перетину 2-2 буде добуток qx₂ на плече .

при х₂=1:

при х₂=5:

Таким чином, поперечна сила змінюється по лінійному закону, зменшуючись від лівого кінця ділянки () до правого (), переходячи через нуль.

Обчислимо при якому значенні x₂=x₀ поперечна сила обертається в нуль (рис. 1.6, б).

при х₂=1:

при х₂=5:

при х₀=4, 67:

У перетині, де поперечна сила обертається в нуль, згинальний момент досягає екстремальної величини на цій ділянці. На першій і другій ділянках згинальний момент змінюється за законом квадратної параболи і епюра М_z звернена опуклістю вгору, тобто убік протилежний дії розподіленого навантаження (рис. 2.4, в).

Ділянка III: 5 £ x₃ £ 7.

Для визначення Q_y і М_z простіше розглядати праву відсічену частину. Тому вводимо нову координатну вісь 0^’х' з початком на правому кінці балки в точці В, направляючи її ліворуч.

Тоді для ділянки III (0^’ £ х' £ 2), знаходимо значення Q_y і М_z.

Тобто, у межах цієї ділянки поперечна сила постійна.

– рівняння прямої лінії

при х'=0: ,

при х'=2:

Якщо розглядати ділянку III у перетині 3-3 з початком координат на лівому кінці балки (5 £ x₃ £ 7), то значення Q_y і М_z будуть такими ж, що й обчислені вище.

Правильність побудови епюр можна перевірити з правил визначення внутрішніх силових факторів:

– на епюрах Q у точках прикладення зосереджених сил відбувається стрибок на величину цих сил, а на епюрах М – злам, спрямований убік, протилежний дії сил;

– у точках прикладення зосередженого моменту на епюрі М буде стрибок на величину цього моменту, а епюра Q у цьому перетині залишається безперервною;

– на кінцях балки поперечна сила і згинальний момент рівні відповідно діючим у цих перетинах зовнішнім зосередженим силам і моментам.

З диференціальної залежності між згинальним моментом, поперечною силою та інтенсивністю розподіленого навантаження:

випливає ряд наслідків, за якими також судять про правильність побудови епюр:

– на ділянках, де відсутнє розподілене навантаження, поперечна сила постійна, а згинальний момент змінюється по лінійному закону;

– на ділянках, де діє розподілене навантаження постійної інтенсивності, поперечна сила змінюється по лінійному закону, а згинальний момент – за законом квадратної параболи. Опуклість параболи завжди спрямована в бік, протилежний дії розподіленого навантаження;

– у перетинах, де поперечна сила змінює знак, тобто обертається в нуль, згинальний момент у цьому перетині буде екстремальним. Якщо знак поперечної сили змінюється з «+» на «-», то М=М_max і з «-» на «+», те М=М_min;

– на ділянках, де поперечна сила дорівнює нулю, згинальний момент залишається постійним по довжині всієї ділянки (чисте згинання);

– збільшення величини згинаючого моменту на деякій ділянці балки чисельно дорівнює площі епюри поперечних сил на цій ділянці, взятої з відповідним знаком.

2.3. Визначення розрахункового згинаючого моменту

Для пластичних матеріалів, що однаково добре працюють на розтягання і стискання, розрахунковим є найбільший по модулю згинальний момент, а перетин, де він діє, називається небезпечним.

З епюри згинальних моментів (рис. 1.6, в) видно, що небезпечний переріз буде над опорою А, оскільки М_max=|M|_max=45 кНм.

2.4. Знаходження поперечного перерізу

Умова міцності за найбільшими нормальними напругами має вигляд:

де М_max – максимальний згинальний момент, Нм;

[s] – допустима напруга, МПа;

W – момент опору поперечного перерізу щодо нейтральної осі (Z), см³ (м³).

Ця геометрична характеристика міцності балки при згинанні залежить від форми і розмірів поперечного переріза.

Величину необхідного моменту опору поперечного переріза обчислюємо за формулою

Для прямокутного перетину балки:

Наприклад, узявши співвідношення висоти і ширини прямокутника h/b=1, 5, маємо:

Приймаємо брус з розмірами 9х13, 6 см.

З таблиці сортаментів ДСТ 8509-86 (Додаток) найближчі до розрахункового моменту опору поперечного переріза мають двотаври:

№22a W=254 см^3.

№24 W=289 см^3.

В інженерних розрахунках допускається перенапруга матеріалу не більш 5%.

Розглядаємо можливість застосування двотавра № 22а:

.

Розрахункова напруга перевищує допустиму більш, ніж на 5 %:

.

Тому приймаємо перетин для балки – двотавр № 24.

Питання для самоперевірки

1. Який вид деформації називають розтяганням (стисканням)?

2. Який вид деформації називають згинанням?

3. Який вид деформації називають крученням?

4. Яку деформацію зазнає стержень (брус) при розтяганні і стисканні і як вона визначається?

5. Що називається коефіцієнтом Пуассона?

6. Дайте визначення закону Гука?

7. У чому суть методу перетинів?

8. Які внутрішні силові фактори виникають у поперечних перерізах балки при згинанні?

9. Як визначаються подовжня сила, нормальні напруги, абсолютна деформація ділянок бруса при розтяганні і стисканні та їх графічне зображення?

10. Як визначаються поперечна сила і згинальний момент у будь-якому перетині балки та їх графічне зображення?

11. Які правила знаків прийняті для кожного із силових факторів?

12. Які існують диференціальні залежності між згинальним моментом, поперечною силою та інтенсивністю розподіленого навантаження?

13. Який перетин балки буде небезпечним?

14. Як змінюється поперечна сила в перетині балки, навантаженої зосередженою зовнішньою силою, перпендикулярною до осі балки?

15. Як змінюється згинальний момент у перетині балки, до якої прикладений зосереджений момент?

16. У чому полягає перевірка епюр Q і М?

17. Як визначити екстремальне значення згинаючого моменту?

18. Що таке нейтральна вісь і як вона розташована?

19. Які форми поперечних перерізів є раціональними для балок з пластич- них матеріалів?

20. Як змінюється згинальний момент, якщо поперечна сила змінює знак, тобто обертається в нуль?

21. З якої умови міцності знаходять площу поперечного перетину балки?

22. Які напруження називаються нормальними?

23. Як розподілені нормальні напруження в поперечних перетинах балки?

Список літератури

1. Иосилевич Г.Б., Строганов Г.Б., Маслов Г.С. Прикладная механика. – М.: Высшая школа, 1989. – 351 с.

2. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1984. – 530 с.

3. Степин П.А. Сопротивление материалов. – М.: Высшая школа, 1983.– 303 с.