Приклад рішення

Проводимо вісь бруса x. Розбиваємо брус на силові (вантажні) ділянки. Границі ділянок визначаються перетинами, у яких змінюються розміри поперечних перетинів або прикладені навантаження. У даному випадку брус має три ділянки. Позначимо границі ділянок буквами А, В, С і D, що є точками прикладення зовнішніх сил.

1.1.Визначення реакції закріплення бруса

Реакцію закріплення бруса R (рис. 1.1, а) знаходимо за умови його рівноваги – сума проекцій усіх зовнішніх сил на вісь бруса x дорівнює нулю (вісь x завжди спрямована уздовж бруса). При цьому, вважаються позитивними сили, які спрямовані від перетину, і негативними в протилежному до перетину напрямку.

1.2. Побудова епюри поздовжніх внутрішніх зусиль N

Внутрішні сили в поперечних перетинах бруса визначаємо, застосовуючи метод перетинів. Для цього умовно перетинаємо брус площиною, яка перпендикуляра його осі в межах кожної ділянки. Відкидаємо одну з частин (як правило ту, на яку діє більше сил) – нижню і замінюємо дію відкинутої частини внутрішньою подовжньою силою N₁, направляючи її в бік відкинутої частини (рис. 1.1). Для верхньої частини бруса, що залишилася, складаємо умову рівноваги – сума проекцій усіх зовнішніх і внутрішніх сил на вісь бруса x, розташованих по одну сторону від розглянутого перетину, дорівнює нулю (SF_x=0).

Рис. 1.1. Схема до визначення внутрішніх сил на ділянках бруса методом перетинів

Подовжнє зусилля приймаємо позитивним, якщо воно викликає розтягання (подовжня сила N спрямована від розглянутого перетину) і негативним, якщо викликає стискання (подовжня сила N спрямована до перетину).

Перетин 1-1 (ділянка 1, 0 £ x £ l₁, рис. 1.1, б)

N₁ – позитивна, отже, на ділянці АВ виникає деформація розтягу.

Перетин 2-2 (ділянка 2, l₁ £ x £ l₁+l₂, рис. 1.1, в)

N₂ – негативна, отже, на ділянці II виникає деформація стиску.

Перетин 3-3 (ділянка 3, l₁+l₂ £ x £ l₁+l₂+l₃, рис. 1.1, г)

У цьому перетині відкидаємо верхню частину бруса:

Можна відкинути нижню частину бруса:

.

N₃ – позитивна, ділянка III розтягнута.

Як видно з вищенаведеного, незалежно від того яку частину бруса відкидаємо, результат одержуємо однаковий.

У межах кожної силової ділянки внутрішні сили залишаються постійними і змінюються стрибкоподібно на границях ділянок, де прикладені зовнішні сили. Відповідно до отриманих даних будуємо епюру поздовжніх сил (рис. 1.1, д). Для цього проводимо нульову лінію паралельну осі бруса. Праворуч від осі в обраному масштабі відкладаємо позитивні значення, ліворуч – негативні. Штрихування епюри виконуємо лініями, перпендикулярними осі, довжина яких показує величину поздовжньої сили. Побудову епюри подовжніх сил N і нормальних напружень s можна починати з будь-якого кінця бруса, а епюри поздовжніх переміщень U поперечних перетинів з боку закріплення бруса.

1.3.Побудова епюри нормальних напружень s

Нормальні напруження в поперечних перетинах визначаємо за формулою

де N – внутрішня поздовжня сила в розглянутому перетині, взята зі своїм знаком, Н;

А – площа поперечного перетину, м².

Визначимо напруження на ділянках, де поздовжня сила і площа поперечного перетину залишаються постійними:

Ділянка 1:

Ділянка 2:

Ділянка 3:

За цими значеннями в масштабі будуємо епюру нормальних напружень (рис. 1.1, е).

1.4. Побудова епюри поздовжніх переміщень U поперечних перетинів бруса

Переміщення поперечних перетинів є наслідком деформації ділянок бруса, абсолютне значення яких визначається за законом Гука:

,

де Dl – абсолютна деформація, мм;

N – поздовжня сила взята зі своїм знаком, Н;

l – первинна довжина ділянки бруса, мм;

E – модуль пружності, Па (для сталі E=2^.10⁵ МПа=2^.10¹¹Па);

A – площа поперечного перетину ділянки бруса, м².

Ділянка 1: (подовження).

Ділянка 2: (скорочення).

Ділянка 3: (подовження).

Переміщення U поперечного перетину, щодо нерухомого нульового (у місці защемлення) кінця, визначається алгебраїчною сумою деформацій ділянок бруса від защемлення до розглянутого перетину:

(перетин закріплений);

(переміщення вниз);

(переміщення нагору);

(переміщення вниз).

За цими значеннями в масштабі будуємо епюри поздовжніх переміщень U поперечних перетинів (рис. 1.1, ж).

1.5. Визначення раціональних значень площ поперечних перетинів для всіх ділянок бруса

Розрахунок необхідних величин площ поперечних перетинів виконуємо, виходячи з умови міцності. Тобто, напруження в брусі не повинні бути більше допустимих. Якщо напруження в брусі будуть більше допустимих, то для забезпечення міцності треба збільшити площу поперечного перетину. Якщо напруження в брусі менше допустимих, то матеріал недовантажений і, з метою економії матеріалу, можна зменшити площу поперечного перетину.

Тому значення площ поперечних перетинів підбираємо з таким розрахунком, щоб при заданих величинах зовнішніх навантажень напруження у

поперечних перетинах бруса були близькі до допустимих для даного матеріалу:

або .

Раціональне значення площі поперечного перерізу , м².