Элементы симметрии кристалла

Наличие пространственной трехмерной периодичности приводит к определенному ограничению вида общей операции симметрии кристалла (R, t), т.е. накладывает ограничения как на вид точечных операций R, так и на значения векторов трансляций t.

1. Набор операций чистых трансляций {(E, t_n)} является подгруппой пространственной группы{(R, t)}, поскольку среди операций пространственной группы по определению пространственной периодичности кристалла должны существовать элементы целочисленных трансляций. Если каждому узлу решетки кристалла с координатой x сопоставить тройку чисел n, т.е. писать x (n), то применение операции (R, t) переведет данный узел решетки в узел x (n ¢), связанной с другой тройкой чисел n ¢:

x (n) ® (R, t) x (n ¢) = Rx (n) + t

x (m) ® (R, t) x (m ¢) =R x (m) + t.

Поскольку x (n) – x (m) = t _p – целочисленный вектор трансляций, то и

t_q = x (n ¢) – x (m ¢) = [ R x (n) + t ] – [ R x (m) + t ] =R [ x (n) – x (m)] =R t_p,

т.е t_q – также целочисленный вектор трансляции. Таким образом,

R t _p= t_q.

Это свойство приводит к тому, что группа трансляций (E, t_n) является подгруппой (R, t) с определенными свойствами. Ее сопряженные элементы со всеми элементами группы, не принадлежащими подгруппе трансляций (E, t), дают элементы из(E, t _p), т.е. сопряженная подгруппа совпадает с самой подгруппой. Такая подгруппа называется инвариантной подгруппой или нормальным делителем группы. Именно такова подгруппа трансляций {(E, t_n)} пространственной группы кристалла. Действительно,

(R, t)(E, t_n)(R, t) ^{– 1} = (R, t)(E, t_n)(R^{– 1}, –R^{– 1} t) =

(R, t)(R^{– 1}, –R^{– 1} t + t_n) = (E, –t +R t_n+t) = (E, R t_n) = (E, t_q).

2. Условие трехмерной периодичности также накладывает ограничения на операции R. Любой вектор x (n) может быть записан с помощью трех векторов элементарных трансляций a_i:

x (n) = a ₁ n ₁ + a ₂ n ₂ + a ₃ n ₃

Однако его удобнее записать через декартовы (ортогональные) координаты основных векторов a_i:

Если применить операцию (R, t) к выражению x (n) – x (m) = t_p с учетом выражения x (n) через декартовые составляющие векторов трансляции, то получим

x ¢ (n) – x ¢ (m) = x (n ¢) – x (m ¢) =R [ x (n) – x (m)]

Аn ¢ – A m ¢ =R [ A n– A m ]

A [ n ¢ –m ¢ ] =R A [ n–m ]

A p ¢ =R a p p ¢ = A ^{– 1} R a p

Вектор p¢ и p – столбцы целых чисел. Поэтому элементы матрицы A ^{– 1} R A должны быть целыми числами, и характер преобразования A ^{– 1} R A, равный характеру матрицы R, должен быть целым числом. Но характер преобразования операции симметрии R равен ±1 + 2cos j. Следовательно ±1 + 2cos j равно целому числу. Единственными возможными значениями углов поворота j являются значения j= 2 p/n, где n= 1, 2, 3, 4, 6. Поэтому в кристаллах единственно возможными поворотными осями могут быть оси порядка 1, 2, 3, 4 и 6.

Ограничения, накладываемые на трансляции, можно получить, рассматривая повторение операции (R, t) m раз, где m – порядок операции R, т.е. R^m=E:

(R, t) ^m= (R^m, (R^{m– 1} +R^{m– 2} +...+E) t) = (R^m, [ R ] t)

здесь обозначено, что [ R ] =R^{m– 1} +R^{m– 2} +...+E

Матрица преобразования R^m имеет вид:

.

Ясно, что если R^m=E, то полная операция группы (R, t) ^m= (E, [ R ] t) должна быть чистой трансляцией, т.е. [ R ] t = t_n. Предположим, что t = t_p +t _R, где

t_R = а ₁ t ₁ + a ₂ t ₂ + a ₃ t ₃(0 < t_i< 1)

Поскольку [ R ] t_p = t_q, необходимо, чтобы [ R ] t_R = t_n. Таким образом ясно, что помимо поворотов (первого и второго рода) и целочисленных трансляций t_n существуют операции нового вида – отражения (A) и повороты (Б)с частичной трансляцией, обозначаемые символом (R, t_R).

А. Плоскость зеркального скольжения. Пусть R=s_z; тогда [ R ] =s_z+E. Декартовы составляющие вектора частичной трансляции t_R могут существовать лишь вдоль осей x, y, а составляющая вдоль z должна быть равна нулю, так как плоскость отражения перпендикулярна этому направлению z:

проекция по оси x: t ₁ а ₁₁ +t ₂ а ₁₂; по оси y: t ₁ а ₂₁ +t ₂ а ₂₂; по оси z: 0

Тогда

и должно выполняться [ s_z ] t_R = t_n:

,

т.е. 2 t ₁ а ₁₁ + 2 t ₂ а ₁₂ =n ₁ a ₁₁ +n ₂ a ₁₂

и 2 t ₁ а ₁₁ + 2 t ₂ а ₁₂ =n ₁ a ₁₁ +n ₂ a ₁₂.

При (n ₁, n ₂) = (1, 0) t ₁ = 1 / 2; t ₂ = 0, т.е. вектор трансляции t_R = a ₁ / 2

при (n ₁, n ₂) = (0, 1) t ₁ = 0; t ₂ = 1 / 2, т.е. вектор трансляции t_R = a ₂ / 2

при (n ₁, n ₁) = (1, 1) t ₁ = 1 / 2; t ₂ = 1 / 2, т.е. вектор трансляции t_R = (a ₁ + a ₂) / 2

Эти плоскости зеркального скольжения обозначаются соответственно a, b, и n. Кроме таких плоскостей зеркального скольжения в центрированных решетках могут быть плоскости с частичным скольжением и на 1 / 4 от целочисленных трансляций (обозначение d). См. Табл. 1.

Таблица 1.