Сингонии и кристаллические классы

Проблема классификации кристаллических сред по симметрии состоит в том, чтобы найти такие группы {(R, t)}, в которых бы содержались указанные выше операции и которые были бы совместимы с пространственной периодичностью. Число таких групп 230. Из них 73 группы не содержат частичных трансляций; они называются симморфными.

Точечной группой решетки (голоэдрической группой) называют совокупность операций (R, 0) первого и второго рода, совмещающих решетку саму с собой. Очевидным элементом такой группы является центр инверсии (поскольку всегда существуют вектора трансляций t_n и –t_n). Далее, если точечная группа решетки имеет ось симметрии C ₂, то всегда имеется плоскость симметрии, перпендикулярная этой оси, т.е. существует группа C _{2 h} ; если имеется ось C_n (n= 3, 4, 6), то точечная группа решетки содержит группу C_nv. Таким образом, для выяснения голоэдрических групп нужно составить список точечных групп, которые имеют:

· а) центр инверсии I;

· b) оси порядка 2, 3, 4 и 6 – C ₂, C ₃, C ₄, C ₆;

· c) плоскости отражения s_h для C ₂ и s_v для C ₃, C ₄, C ₆.

Этим условиям удовлетворяют 7точечных групп, называемых кристаллическими системами (сингониями). См табл.2.

Таблица 2.

Кристаллические системы – сингонии

В каждой из семи кристаллических систем (точечных групп решетки) находится определенное число типов решеток, которые могут быть простыми (P), базоцентрированными (C), гранецентрированными (F), и объемоцентрированными (I). Поэтому полное количество решеток может быть равно 14 (решетки Браве). Вид элементарной ячейки и возможные типы решеток Браве перечислены ниже.

1. ТРИКЛИННАЯ – C_i. На углы и длины элементарных векторов трансляции не наложено никаких ограничений (из–за отсутствия элементов симметрии, кроме C_i). Решетка примитивная – P; a¹ b¹ g¹ 90^о и а ¹ b ¹ c.

2. МОНОКЛИННАЯ – C _{2 h} . Есть C ₂ и плоскость, перпендикулярная оси C ₂. Таким образом, одна их трансляций может быть выбрана перпендикулярно двум другим. Поэтому a¹ b¹ 90 ^о, g= 90 ^о и а ¹ b ¹ c. Нетрудно видеть, однако, что ячейка этого типа может быть не только примитивной, т.е. атомы могут быть расположены не только в ее вершинах. Элементарная ячейка может быть примитивная – P и базоцентрированная – C. (Элементарной ячейкой называют ячейку, обладающую симметрией решетки и имеющую наименьший объем).

3. ОРТОРОМБИЧЕСКАЯ – D _{2 h} . Все три элементарных вектора трансляции могут быть выбраны в соответствии с требованиями симметрии, т.е. вдоль ортогональных осей C ₂ группы D _{2 h} . a=b=g= 90 ^о и а ¹ b ¹ c. Любая грань в элементарной ячейке в этой сингонии может иметь дополнительный узел. Поэтому ячейка может быть примитивной – P, базоцентрированной – C, объемоцентрированной – I, и гранецентрированной – F.

4. ТРИГОНАЛЬНАЯ – D _{3 d} . a=b=g¹ 90 ^о и а = b = c. Ячейка – P.

5. ТЕТРАГОНАЛЬНАЯ – D _{4 h} . a=b=g= 90 ^о и а = b ¹ c. Ячейка P и I.

6. ГЕКСАГОНАЛЬНАЯ – D _{6 h} . a=b= 90 ^о; g= 120 ^о и а = b ¹ c. Ячейка P.

7. КУБИЧЕСКАЯ – O_h. a=b=g= 90 ^о и а = b = c. Ячейка P, I, F.

ФАКТОР–ГРУППА

Если H – инвариантная подгруппа G, то все элементы G можно получить так: G = H+X ₂ H+X ₃ H+....+X_gH. Каждое слагаемое в этой сумме можно рассматривать как элемент новой группы, называемой фактор–группой; обозначается она как G/H. Элементами фактор–группы являются смежные (правые или левые) классы по H: H, X ₂ H, X ₃ H....X_gH. Произведение двух смежных классов также смежный класс:

(X_iH)(X_jH) =X_i (HX_j) H=X_iX_j (HH) =X_iX_jH=X_qH