Неприводимые представления группы трансляций

Таким образом, применение трансляции (E, t_n) к нормальной координате Q_i дает:

(E, t_n) Q_i=exp [ i (qt_n)] Q_{i .}

Поэтому оказывается, что координата Q_i должна иметь еще один индекс (квантовое число) – это волновой вектор возбуждения q. В нормальном колебании кристалла атомы в различных элементарных ячейках колеблются в определенных фазовых соотношениях и с одной и той же частотой. При переходе от одной частице к трансляционно-эквивалентной, как это видно из написанного выражения, амплитуда колебаний изменяется по кристаллу, и периодичность этих изменений описывается с помощью волнового вектора q. Эта периодичность смещений в кристалле подобна стоячим волнам в картине колебаний струны. Волновое движение с q = 0 будет представлять собой движение, когда движение во всех элементарных ячейках происходит в фазе. Необходимо отметить, что операция (E, t_n), действующая на Q_q (r) дает смещение в точке (r–t_n) с фазой exp [ i (qt_n)], т.е.

(E, t_n) Q_q (r) ® Q_q (r–t_n) =Q_q (r) *exp [ i (qt_n)].

Умножив обе части на exp [ i q (r–t_n)], получим важное соотношение, показывающее, что существует инвариантное относительно трансляций выражение:

Q_q (r–t_n) * exp [ i q (r – t_n)] =Q_q (r) * exp [ i (qr)] =inv=U_q (r).

Таким образом, операция трансляции (E, t_n) не изменяет функцию Q_q (r) exp [ i (qr)], которая, следовательно, периодична с периодом решетки. Это утверждение представляет собой так называемую теорему Блоха, согласно которой собственное решение для любого возбуждения в кристалле имеет вид:

Q_q (r) =u_q (r) *exp [ –i (qr)],

причем функция U_q (r) периодична с периодом решетки.

Поскольку здесь шла речь о колебаниях только для примера, вывод о виде возбуждения справедлив для любого типа возбуждения:

y_q (r) =u_q (r) *exp [ –i (qr)]

Используя общее правило отбора для любого матричного элемента < q, M_f, q ¢ >, получим, что соответствующий переход разрешен, если прямое произведение представлений, по которым преобразуются волновая функция начального состояния, волновая функция конечного состояния и оператор перехода M_f, содержит полносимметричное представление группы, т.е. если Г^q*Г^M*Г^q¢ в разложении по неприводимым представлениям содержит Г⁽⁰⁾. Учитывая вид блоховских волновых функций ясно, что характер, по которому преобразуется матричный элемент, является произведением характеров сомножителей exp[ i (qt_n)], exp[ i (ft_n)]иexp[ - i (q ¢ t_n)], так что это условие сводится к следующему соотношению:

exp [ i (q+f–q ¢) t_n ] = 1 или q ¢ =f+q + K _m