Введение. Введение 5 Функция, ее свойства ..6 Правила вычисления

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………………………...5

1. Функция, ее свойства……………………………………………………………………..............6
2. Правила вычисления производных……………………………………………………………..11
3. Касательная к графику функции………………………………………………………………...17
4. Приближенные вычисления……………………………………………………………………..23
5. Производная и ее применение…………………………………………………………………..27
6. Комбинаторика и бином Ньютона………………………………………………………………33
7. Первообразная. Интеграл…………………………………………………………………..........43
8. Степени и корни. Степенная функция…………………………………………………….........51
9. Показательная функция………………………………………………………………………….67
10. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов………….85
11. Решение уравнений и неравенств, содержащих переменные под знаком модуля………….98

Литература………………………………………………………………………………………………109

Введение

Практическая тетрадь предназначена для учащихся 10 - 11 классов.

Материалы, включенные в практическую тетрадь разбиты на темы соответствующей программы. Тетрадь помогает систематизировать имеющие знания или ликвидировать пробелы в них.

Внутри каждой темы представлены почти все типы задач, формирующие основные умения и навыки в соответствии с государственными стандартами образования (задачи на отработку знаний формул, качественные задачи). Задачи сгруппированы тематически и очередность их решения выстроена в следующем алгоритме: от простого к сложному. Из предложенных задач, можно подобрать задачи с увеличением сложности.

Каждая тема в практической тетради состоит из четырех частей: справочный материал, упражнения с решениями разной степени сложности, дидактический материал, тесты для проверки знаний в двух вариантах.

Эта практическая тетрадь поможет учителям математики при планировании и организации учебного процесса с использованием инновационных педагогических технологий: технология полного усвоения знаний, технология уровневой дифференциации, технология адаптивной системы обучения, и технологии индивидуализированного способа обучения.

Такая практическая тетрадь поможет активизировать систему работы учителя и самостоятельную деятельность учащихся при подготовке к ЕНТ.

Тема: ПЕРВООБРАЗНАЯ. ИНТЕГРАЛ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Определение. Если для любого из множества Х выполняется равенство , то функцию называют первообразной для функции на данном промежутке.

Функция	Первообразная	Функция	Первообразная

Криволинейной трапецией называют, фигуру ограниченную графиком этой функции, отрезком [a; b] и прямыми и .

Формула нахождения неопределенного интеграла:

Формула Ньютона –Лейбница:

Формула вычисления площади криволинейной трапеции:

Формула вычисления объема тела вращения:

Правила нахождения первообразных	Правила нахождения интеграла.
Постоянный множитель можно вынести за знак производной: где , .	Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:   где
Производная суммы	Интеграл от суммы равен сумме интегралов;
Производная сложной функции	Формула замены переменной: где и - постоянные

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Пример1. Вычислите интеграл:

Решение: Одной из первообразных для подынтегральной функции будет . Следовательно, имеем .

Пример2. Найти одну из первообразных функции

Решение: Используя, правила интегрирования и таблицу первообразных для функции при и для , находим одну из первообразных данной функции:

Ответ: .

Пример 3. Для функции найти первообразную, график которой проходит через точку .

Решение: Общим видом первообразных для является функция .Решая уравнение:

Таким образом, искомая первообразная есть функция

Ответ: .

Пример 4. Найдите неопределенный интеграл: .

Решение: Для первообразной является .Поэтому по правилу 3 получаем: .

Пример 5. Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: и

Решение: Построим на координатной плоскости параболу с вершиной в точке и ветвями, направленными вверх. Проведем прямые , параллельные оси , проходящие соответственно через точки А(2; 0) и В(3: 0), а прямая у=0 совпадает с осью .

Тогда получим криволинейную трапецию АВСД, ограниченную сверху графиком функции , прямыми и осью , площадь которой можно вычислить, используя формулу вычисления площади криволинейной трапеции: .

Так как , то, используя первое и второе правила нахождения первообразных, имеем .

Учитывая, что в данном случае , по формуле вычисления площади криволинейной трапеции получим:

.

Ответ: кв.ед.

Пример 6. Вычислим интеграл:

Решение: Для функции первообразная равна , поэтому для функции

первообразной является . Следовательно,

= .

Пример 7.

Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Рис.

V=V₁ –V₂ , где V₁-объём тела, полученного при вращении криволинейной трапеции ОВСД, а V₂ –объём тела полученного при вращении прямоугольника ОВРЕ вокруг оси абсцисс.

.

Ответ: .

Пример 8. Найдите путь, пройденный точкой за промежуток времени от до , если скорость точки меняется по закону υ (t)=3t²+2t+1.

Решение: Путь, пройденный точкой за промежуток времени от t=0 до t=5, есть .

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

1. Найдите, первообразную функции:

Ответ: .

2. Найдите, первообразную функции: .

Ответ:

3. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми осью и графиком функции .

Ответ: 6

4. Для функции найдите, первообразную, принимающее заданное значение в указанной точке: .

Ответ:

5. Найдите, общий вид первообразных для функции:

Ответ:

6. Вычислите интеграл: .

Ответ:

7. Решите уравнение:

Ответ: 1

ТЕСТ №1

1. Найдите, первообразную функции :

А) В) С)

D) Е)

2. Найдите, первообразную функции

А) В) С)

D) Е)

3. Вычислите интеграл:

А) В) С) D) Е)

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

А) В) С) D) Е)

5. Вычислите интеграл, преобразуя подынтегральную функцию:

А) В) С) D) Е)

6. Тело движется прямолинейно со скоростью υ (t)=2t²+t(м/с), t₁=1, t₂=3. Вычислите путь пройденный телом за промежуток времени от t=t₁ до t=t₂:

А) В) С) D) Е)

7. Вычислите интегралы:

А) 10 В) 20 С)30 D)40 Е)50

8. При каких значениях выполняется равенство:

А) В) С) D) Е)

9. Вычислите:

А) В) С) D) Е)

10. Найдите, множество первообразных для функции:

А) ; В) ; С) ; D) ; Е) .

ТЕСТ №2

1. Найдите, первообразную функции :

А) ; В) ; С) ; D) ; Е) .

2. Найдите, первообразную функции

А) В) С)

D) Е)

3. Вычислите интеграл:

А) В) С) D) Е)

4. Найдите площадь фигуры ограниченной графиком функции прямыми

А) В) С) D) Е)

5. Вычислите интегралы, преобразуя подынтегральные функции:

А) В) -2 С)3 D)-3 Е)0

6. Скорость прямолинейно движущегося тела равна υ (t)=4t-t². Вычислите путь, пройденным телом от начала движения до остановки.

А) В) С) D) Е)

7. Вычислите интеграл: .

А) 24 В) 44 С)42 D)22 Е) 0

8. Для функции , найти первообразную , график которой проходит через точку М (0; 1)

А) В) С)

D) Е)

9. По заданной площади криволинейной трапеции найдите значение параметра , если

А) В) С) D) Е)

10. Найдите площадь фигуры ограниченной линиями: и .

А) В) С) D) Е) .

ОТВЕТЫ

Тема: ПЕРВООБРАЗНАЯ. ИНТЕГРАЛ

Тема: СТЕПЕНИ И КОРНИ. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Корень –ой степени и его свойства

Определение: Корнем -ой степени ( – натуральное число, отличное от 1) из числа называется такое число , -ая степень которого равна числу .

, где .

Определение: Арифметическим корнем -ой степени от отрицательного числа называется неотрицательное число , -ая степень которого равна числу .

Свойства: Для положительных чисел при для корней –ой, ой степени

1. ; 2. ;

3. = ; 4. = ;

5. = ; 6. = .