Иррациональные уравнения

Пример 1. Решите уравнение:

а) б) в) x - 8

Решение: Обе части этого уравнения возведем вквадрат, откуда получаем исходное уравнение, находим корни и проверяем полученные числа, путем подстановки являются ли решениями уравнения.

а) , ⟹ = , ⟹ = 0, ⇒ , ₂ . Сразу ясно, что число -1 не является корнем уравнения, так как обе части не определены при ₂ . При подстановке в уравнение 2 получаем верное равенство . Следовательно, решением является .

Ответ:

б) ⟹ = 4 - , ⟹ = 10, ⇒ При подстановке в уравнение 5 получаем, что данное число не является корнем уравнения. Следовательно, уравнение не имеет решения.

Ответ: Ø

в) x – 8, по определению - это неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Уравнение x – 8 равносильно системе

Из первого уравнения получим , получим корни 11 и 6, но условие выполняется только для = 11.

Ответ: = 11.

Пример 2. Решите уравнение:

а)

Решение: Обе части этого уравнения возведем вкуб: )³ ⟹ , откуда получаем исходное уравнение, находим корни и проверяем полученные числа, путем подстановки являются ли решениями уравнения.

⟹ ⟹ ⟹ ⟹ , ₂

Ответ: , ₂

Пример 3. Решите систему уравнений:

а)

Решение: Положим , получим систему

Разложим левую часть второго уравнения на множители: ) и подставим в него из первого уравнения = 4. Тогда получим систему уравнения, равносильную второй:

Подставляя во второе уравнение значение , найденное из первого , приходим к уравнению , т.е. .

Полученное квадратное уравнение имеет два корня: . Соответствующие значения таковы: . Переходим к переменным , получаем: , т.е. , .

Ответ: (1; 27), (27, 1)