Биномиальное распределение. Определение.Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение (распределена по биномиальному закону)

Определение. Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение (распределена по биномиальному закону), если ее возможные значения

выражают число успехов в испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха , а соответствующие вероятности равны вероятностям числа успехов: . Таким образом, закон биномиального распределения имеет вид:

.

Для отыскания числовых характеристик биномиального распределения — математического ожидания и дисперсии — введем вспомогательные случайные величины: — индикатор -го испытания ():

, если в -м испытании имела место неудача;

, если в -м испытании имел место успех.

Случайные величины независимы, поскольку связаны с исходами независимых испытаний, и имеют одинаковые законы распределения . Найдем их числовые характеристики:

;

.

Исходная случайная величина (число успехов) равна сумме индикаторов: (в сумме справа столько единиц, сколько раз в испытаниях имел место успех, а остальные слагаемые равны нулю).

По свойствам математического ожидания и дисперсии:

;

.

Итак, для случайной величины , имеющей биномиальное распределение,

.