Математическое ожидание и дисперсия среднего арифметического.

Теорема. Если случайные величины независимы и имеют одинаковое математическое ожидание, равное , и одинаковую дисперсию, равную , то для их среднего арифметического справедливы формулы:

. (8)

Доказательство. Прежде всего, среднее арифметическое имеет такое же математическое ожидание, как и :

.

Далее, используя уже доказанные свойства дисперсии, получаем:

. ▄

Замечание. Из формулы (8) следует, что дисперсия среднего арифметического в раз меньше исходной дисперсии отдельного слагаемого. Иными словами, среднее арифметическое имеет меньшее рассеивание вокруг математического ожидания . Это связано с тем, что в среднем арифметическом при суммировании отклонения разных знаков в значительной степени погашают друг друга.

Последнее находит применение в практике измерений. Так, например, в навигации принято производить измерения по приборам трижды и в качестве результата брать среднее арифметическое полученных значений.