Разностные формулы для обыкновенных производных

Разностные формулы для приближенного вычисления производной подсказаны самим определением производной.

Пусть значения функции в точках x_i обозначены через y_i:

y_i = f (x_i), x_i = a + ih, i = 0, 1, …, n; h = (b – a)/ n.

Мы рассматриваем случай равномерного распределения точек на отрезке [ a, b ]. Для приближенного вычисления производных в точках x_i можно использовать следующие разностные формулы, или разностные производные.

. (5.1)

. (5.2)

. (5.3)

Так как предел отношения (5.1) при h → 0 равен правой производной в точке x_i, то это отношение иногда называют правой разностной производной в точке x_i. По аналогичной причине отношение (5.2) называют левой разностной производной в точке x_i. Отношение (5.3) называют центральной разностной производной в точке x_i.

Оценим погрешность разностных формул (5.1) — (5.3), предполагая, что функция f (x) разлагается в ряд Тейлора в окрестности точки x_i:

(5.4)

Полагая в (5.4) x = x_i + h или x = x_i – h, получим

(5.5)

(5.6)

Учитывая (5.5) и (5.6) имеем

. (5.7)

. (5.8)

. (5.9)

Из последних соотношений следует, что разностная формула (5.3) имеет погрешность на порядок меньшую, чем разностные формулы (5.1) и (5.2).

Пример 5.1. Вычислить приближенно производные с помощью разностных формул и сравнить с точными значениями производной функции y = sin x в точках отрезка [0, 1].

Решение в Excel. Составим таблицу значений функции
y = sin π x на отрезке [0, 1] с шагом 0, 1 (табл. 5.1).

В ячейку B 2 введем формулу =SIN(A2*3, 1415926) и протянем ячейку B 2 маркером заполнения до ячейки B 12.

В ячейки C 3, D 3, E 3 и F 3 введем соответственно формулы
=(B4-B3)/(A4-A3), =(B3-B2)/(A3-A2), =(B4-B2)/(A4-A2) и =3, 1415926*COS(A3*3, 1415926), выделим диапазон C 3: F 3 и протянем маркером заполнения до строки 11.

Табл. 5.1

Результат представлен также графиком на рис. 5.3. Как видно на рисунке, разностная формула (5.3) дает практически те же значения, что и формула точной производной.

Рис. 5.3.

Производные высших порядков можно приближенно вычислять по формулам, полученным с помощью последовательного применения разностных производных соотношений (5.1) — (5.3).

Разностная формула для второй производной (разностная производная второго порядка) имеет вид:

. (5.10)

Непосредственной подстановкой разложений (5.5) и (5.6) в формулу (5.10) можно получить зависимость между второй производной функции и разностной формулой для производной второго порядка:

. (5.11)

Пример 5.2. Вычислить разностную приближенно производную второго порядка и сравнить с точными значениями второй производной функции y = sin π x в точках отрезка [0, 1].

Решение в Excel. Составим таблицу значений функции
y = sin π x на отрезке [0, 1] с шагом 0, 2 (табл. 5.2), вычислим разностную производную второго порядка, производную второго порядка и относительную погрешность.

Вычислим те же величины с шагом 0, 1 (табл.5.3).

Табл.5.2

xi	yi	Разностная формула (5.10)		Относительная погрешность
0, 2	0, 587785	-5, 61285	-5, 80121	0, 032469
0, 4	0, 951057	-9, 08178	-9, 38655	0, 032469
0, 6	0, 951057	-9, 08178	-9, 38655	0, 032469
0, 8	0, 587785	-5, 61285	-5, 80121	0, 032469
	5, 36E-08

Табл.5.3

xi	yi	Разностная формула (5.10)		Относительная погрешность
0, 1	0, 309017	-3, 02487	-3, 04988	0, 008198
0, 2	0, 587785	-5, 75365	-5, 80121	0, 008198
0, 3	0, 809017	-7, 91922	-7, 98468	0, 008198
0, 4	0, 951057	-9, 3096	-9, 38655	0, 008198
0, 5		-9, 7887	-9, 8696	0, 008198
0, 6	0, 951057	-9, 3096	-9, 38655	0, 008198
0, 7	0, 809017	-7, 91922	-7, 98468	0, 008198
0, 8	0, 587785	-5, 75365	-5, 80121	0, 008198
0, 9	0, 309017	-3, 02487	-3, 04988	0, 008198
	5, 36E-08

Уменьшение шага таблицы в два раза привело к уменьшению относительной ошибки в четыре раза! Это объясняется формулой погрешности (5.11).