Графическое дифференцирование

Численное дифференцирование

Задача приближенного вычисления производной может возникнуть в тех случаях, когда неизвестно аналитическое выражение для исследуемой функции. Функция может быть задана таблично, или известен только график функции, полученный, например, в результате показаний датчиков параметров технологического процесса.

Иногда, при решении некоторых задач на компьютере, из-за громоздкости выкладок может оказаться более удобным вычисление производных численным методом, чем аналитическим. При этом, разумеется, необходимо обосновать применяемый численный метод, т.е. убедиться в том, что погрешность численного метода находится в приемлемых границах.

Одним из эффективных методов решения дифференциальных уравнений является разностный метод, когда вместо искомой функции рассматривается таблица её значений в определенных точках, при этом производные приближенно заменяются разностными формулами (см. ниже п.5.2 и главы 7, 8).

Графическое дифференцирование

Пусть известен график функции y = f (x) на отрезке [ a, b ]. Можно построить график производной функции, вспомнив ее геометрический смысл. Воспользуемся тем фактом, что производная функции в точке x равна тангенсу угла наклона к оси абсцисс касательной к её графику в этой точке абсцисс.

Если x = x ₀, то найдем y ₀ = f (x ₀) с помощью графика и затем проведем касательную AB к графику функции в точке (x ₀, y ₀) (рис. 5.1). Проведем прямую, параллельную касательной AB, через точку (–1, 0) и найдем точку y ₁ её пересечения с осью ординат. Тогда значение y ₁ равно тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс, т.е. производной функции f (x) в точке x ₀:

,

и точка M ₀(x ₀, y ₁) принадлежит графику производной.

Рис. 5.1.

Чтобы построить график производной необходимо разбить отрезок
[ a, b ] на несколько частей точками x_i, затем для каждой точки графически построить значение производной и соединить полученные точки плавной кривой с помощью лекал.

На рис. 5.2 показано построение пяти точек M ₁, M ₂, …, M ₅ и графика производной.

Алгоритм построения графика производной:

1. Строим касательную к графику функции y = f (x) в точке (x ₁, f (x ₁));

из точки (–1, 0) параллельно касательной в точке (x ₁, f (x ₁)) проведем прямую до пересечения с осью ординат; эта точка пересечения дает значение производной . Строим точку .

2. Аналогично построим остальные точки M ₂, M ₃, M ₄ и M ₅.

3. Соединяем точки M ₁, M ₂, M ₃, M ₄, M ₅ плавной кривой.

Полученная кривая является графиком производной.

Рис. 5.2.

Точность графического способа определения производной невысока. Мы приводим описание этого способа только в учебных целях.

Замечание. Если в алгоритме построения графика производной вместо точки (–1, 0) взять точку (– l, 0), где l > 0, то график будет построен в другом масштабе по оси ординат.