Практическая оценка погрешности. Метод Рунге-Ромберга

Рассмотрим метод Рунге для повышения порядка точности формул для вычисления производных на примере формулы (5.11):

. (5.44)

Предполагая, что функция четырежды дифференцируема, погрешность разностной формулы для второй производной можно представить в виде

. (5.45)

Вычислим по формуле (5.44) вторую производную в той же точке x_i, но используя сетку с шагом 2 h:

. (5.46)

Погрешность формулы (5.46) имеет вид:

. (5.47)

Вычитая (5.45) из (5.47), получим

. (5.41)

Отсюда для погрешности получим первую формулу Рунге:

(5.42)

Теперь вторую производную в точке x_i можно вычислить по уточненной формуле (второй формуле Рунге):

. (5.43)

Пример 5.6. Вычислить производную второго порядка функции
y = sin π x в точке x = 0, 4 по второй формуле Рунге, используя разностные формулы с шагом 0, 1 и 0, 2.

Решение. Воспользуемся приближенными значениями второй производной, найденными с помощью разностных формул в примере 5.2:

Очевидно, что полученное значение более точно приближает вторую производную, чем разностная формула с шагом 0, 1 или 0, 2.

Пример 5.7. Вычислить производную функции y = sin π x в точке x = 0, 574 с точностью 0, 01.

Решение. Создадим в программе Excel макрос — функцию для вычисления производной функции f (x) в произвольной точке x с заданной точностью ε при помощи формулы (5.34):

(5.44)

Для оценки погрешности будем использовать правило Рунге. Шаг h будет подбираться автоматически так, чтобы выполнялось условие

. (5.45)

Значение производной будем вычислять по уточненной формуле

(5.46)

Выберем меню «Сервис — Макрос — Редактор Visual Basic», в открывшемся окне выполним команду «Insert — Module», и введем описания функций:

Function f(ByVal x)

f = Sin(3.1415926 * x)

End Function

Function f_deriv(ByVal x, ByVal eps)

h = 0.1

errd = 1

h2 = h * 2

d = (f(x + h) - f(x - h)) / h2

While Abs(errd) > eps

h2 = h

h = h / 2

d2 = d

d = (f(x + h) - f(x - h)) / h2

errd = (d - d2) / 3

Wend

f_deriv = d + errd

End Function

В таблице 5.10 приведены результаты расчетов. Поясним заполнение таблицы. В ячейках B 2, C 2, D 2 и E 2 соответственно введем формулы, как показано в табл. 5.9.

Таблица 5.9

Выделим диапазон A 2: E 2 и маркером заполнения протягиваем эти ячейки до строки 12.

Заполняем столбец A 2: A 12, как в табл. 5.10.

Таблица 5.10

Замечание. Погрешность в столбце E получилась намного меньше, чем 0, 01 из-за того, что вместо формулы (5.44) использовали уточненную формулу (5.46).