Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Равномерное распределение узлов
Пусть заданы значения функции yi = f (xi) в узлах xi, равномерно распределенных на отрезке [ a, b ]:
xi = a + ih, i = 0, 1, …, n; h = (b – a)/ n.
Построим формулы приближенного дифференцирования с помощью первой интерполяционной формулы Ньютона (4.13), которую после некоторых упрощений можно записать в виде
(5.23)
где q = (x – x 0)/ h. Мы здесь предполагаем, что узлы интерполяции распределены на отрезке [ a, b ] равномерно с шагом h. Выберем в качестве x 0 узел, ближайший к точке x. Дифференцируя (5.23) по переменной x и учитывая, что
,
получим приближенные формулы для вычисления производных:
, (5.24)
. (5.25)
Чем больше слагаемых в формулах (5.24) и (5.25) используется, тем выше точность вычисления производных. Эти формулы дают хорошие приближения для точек, близких к значению x 0 (левому концу отрезка [ a, b ]). Если x = x 0, то q = 0 и для вычисления производных в узлах xi получим формулы
, (5.26)
. (5.27)
Очевидно, что вторая интерполяционная формула Ньютона позволяет вывести формулы для вычисления производных в точках, близких к правому краю xn отрезка [ a, b ]:
(5.28)
(5.29)
(5.30)
При x = xn получим
(5.31)
(5.32)
Пример 5.4. Вычислить приближенно первую и вторую производные функции cos2 x в точках x = 0, 55 и x = 0, 96 по её значениям в точках 0, 5; 0, 6; 0, 7; …1. Решение. Построим таблицу разностей функции (Табл.5.7). Табл. 5.7
Вычислим по формуле (5.24) приближенное значение производной первого порядка в точке x = 0, 55:
Мы здесь использовали только три слагаемых формулы (5.24). Значение производной по точной формуле равно
.
Относительная погрешность приближенного значения составляет
Найдем в точке x = 0, 55 приближенное значение второй производной по формуле (5.25), ограничившись тремя слагаемыми:
Значение второй производной в точке x = 0, 55 равно
Найдем относительную погрешность приближенного значения
Вычислим с помощью формулы (5.29) приближенное значение первой производной в точке x = 0, 96:
Значение производной в точке x = 0, 96 по точной формуле равно
.
Найдем относительную погрешность приближенного значения
Теперь найдем с помощью формулы (5.30) приближенное значение второй производной в точке x = 0, 96:
Значение второй производной в точке x = 0, 96 равно
Относительная погрешность в данном случае равна
Как видим, формулы (5.24), (5.25) дают высокую точность при вычислении производной около левой границы отрезка, а формулы (5.29), (5.30) — около правой границы. Выведем формулы для производной с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа:
В случае равномерного распределения узлов с помощью обозначений
получим
Тогда полином Лагранжа запишется в виде
.
Найдем производную
. (5.33)
С помощью (5.33) получим формулы для вычисления производной в точках xi при различных значениях n 1) n = 2. Используются три точки, и производная в этих точках выражается формулами (5.34)
2) n = 3 (Четыре точки).
(5.35)
2) n = 4 (Пять точек).
(5.36)
|