Порядок выполнения лабораторной работы. Пример.Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка с начальным условием на равномерной сетке отрезка [0; 1] один раз с шагом h

Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка с начальным условием на равномерной сетке отрезка [ 0; 1 ] один раз с шагом h = 0, 2, другой – с шагом 0, 1 методами Эйлера, Эйлера-Коши и классическим методом Рунге-Кутта. Оценить погрешность численного решения по принципу Рунге. Сравнить численное решение с точным j(x) = 2e ^x – x - 1.

Вид рабочего листа табличного процессора MS Excel приведен на рисунке.

1. В диапазоне A3: L10 оформляем вычисления для метода Эйлера. В диапазоне A3: А10 размещаем заголовки строк. Задаем узловые точки сетки: В3=" 0", С3=" 0.1", протягиваем диапазон В3: С3 до ячейки L3.

Программируем рабочий лист для вычислений с шагом h=0, 2. Размещаем начальное условие : ячейка В5=" 1". Вычисляем угловой коэффициент в начальной точке f(x₀ , y₀ )=х₀+у₀: ячейка D4=" =B3+B5". Вычисляем следующее приближенное значение функции у₁ = у₀ + h f(x₀ , y₀ ): ячейка D5=" =B5+(D3-B3)*D4". Протягиваем диапазон D4: E5 в диапазон D4: L5 для вычислений в остальных узловых точках.

Программируем рабочий лист для вычислений с шагом h=0, 1. Размещаем начальное условие : ячейка В7=" 1". Вычисляем угловой коэффициент в начальной точке f(x₀ , y₀ )=х₀+у₀: ячейка С6=" =B3+B7". Вычисляем следующее приближенное значение функции у₁ = у₀ + h f(x₀ , y₀ ): ячейка С7=" =B7+(C3-B3)*C6". Протягиваем диапазон С6: С7 в диапазон С6: L7 для вычислений в остальных узловых точках.

Вычисляем значение функции j(x) = 2e ^x – x - 1 в узловых точках: ячейка В8=" =2*EXP(B3)-B3-1" и протягиваем формулу в диапазон B8: L8. По формуле вычисляем оценку точности в узловых точках более крупной сетки: ячейка D9=" =ABS(D7-D5)" и протягиваем диапазон D9: E9 до ячейки L9. По формуле вычисляем фактическое отклонение приближенного значения на сетке h/2 в узлах более крупной сетки: ячейка D10=" =ABS(D8-D7)" и протягиваем диапазон D10: E10 до ячейки L10. Вычисления по методу Эйлера закончены.

2. В диапазоне A13: L30 оформляем вычисления для метода Эйлера-Коши. В диапазоне A13: A30 размещаем заголовки строк. Задаем узловые точки сетки: В13=" 0", С13=" 0.1", протягиваем диапазон В13: С13 до ячейки L13.

Программируем рабочий лист для вычислений с шагом h=0, 2. Размещаем начальное условие : ячейка В20=" 1". Проводим расчет в 1-ой узловой точке. Вычисляем угловой коэффициент в начальной точке f(x₀ , y₀ )=х₀+у₀: ячейка D14=" =B13+B20". Вычисляем коэффициент : ячейка D15=" =(D13-B13)*D14". Вычисляем аргументы коэффициента k₂: ячейка D16=" =D13" (), ячейка D17=" =B20+D15" (y₀ + k₁). Вычисляем функцию f = х + у от полученных аргументов: ячейка D18 =" =D16+D17". Вычисляем коэффициент : ячейка D19=" =(D13-B13)*D18". Вычисляем следующее приближенное значение функции у₁ = у₀ + (k₁ + k₂ )/2: ячейка D20=" =B20+(D15+D19)/2". Протягиваем диапазон D14: E20 в диапазон D14: L20 для вычислений в остальных узловых точках.

Программируем рабочий лист для вычислений с шагом h=0, 1. Размещаем начальное условие : ячейка B27=" 1". Проводим расчет в 1-ой узловой точке. Вычисляем угловой коэффициент в начальной точке f(x₀ , y₀ )=х₀+у₀: ячейка C21=" =B13+B27". Вычисляем коэффициент : ячейка C22=" =(C13-B13)*C21". Вычисляем аргументы коэффициента k₂: ячейка C23=" =C13" (), ячейка C24=" =B27+C22" (y₀ + k₁). Вычисляем функцию f = х + у от полученных аргументов: ячейка C25 =" =C23+C24". Вычисляем коэффициент : ячейка C26=" =(C13-B13)*C25". Вычисляем следующее приближенное значение функции у₁ = у₀ + (k₁ + k₂ )/2: ячейка C27=" =B27+(C22+C26)/2". Протягиваем диапазон C21: C27 в диапазон C21: L27 для вычислений в остальных узловых точках.

Вычисляем значение функции j(x) = 2e ^x – x - 1 в узловых точках: ячейка В28=" =2*EXP(B13)-B13-1" и протягиваем формулу в диапазон B28: L28. По формуле вычисляем оценку точности в узловых точках более крупной сетки: ячейка D29=" =ABS(D27-D20)/3" и протягиваем диапазон D29: E29 до ячейки L29. По формуле вычисляем фактическое отклонение приближенного значения на сетке h/2 в узлах более крупной сетки: ячейка D30=" =ABS(D28-D27)" и протягиваем диапазон D30: E30 до ячейки L30. Вычисления по методу Эйлера-Коши закончены.

3. В диапазоне A33: L66 оформляем вычисления для классического метода Рунге-Кутта. В диапазоне A33: A66 размещаем заголовки строк. Задаем узловые точки сетки: В33=" 0", С33=" 0.1", протягиваем диапазон В33: С33 до ячейки L33.

Программируем рабочий лист для вычислений с шагом h=0, 2. Размещаем начальное условие : ячейка В48=" 1". Проводим расчет в 1-ой узловой точке. Вычисляем угловой коэффициент в начальной точке f(x₀ , y₀ )=х₀+у₀: ячейка D34=" =B33+B48". Вычисляем коэффициент : ячейка D35=" =(D33-B33)*D34". Вычисляем аргументы коэффициента k₂: ячейка D36=" =B33+(D33-B33)/2" (), ячейка D37=" = B48+D35/2" (y₀ + k₁/2). Вычисляем функцию f = х + у от полученных аргументов: ячейка D38 = " =D36+D37". Вычисляем коэффициент : ячейка D39=" =(D33-B33)*D38". Вычисляем аргументы коэффициента k₃: ячейка D40=" =B33+(D33-B33)/2" (), ячейка D41=" =B48+D39/2" (y₀ + k₂/2). Вычисляем функцию
f = х + у от полученных аргументов: ячейка D42 = " =D40+D41". Вычисляем коэффициент : ячейка D43=" =(D33-B33)*D42". Вычисляем аргументы коэффициента k₄: ячейка D44=" =D33" (), ячейка D45=" = B48+D43" (y₀ + k₃). Вычисляем функцию f = х + у от полученных аргументов: ячейка D46 = " =D44+D45". Вычисляем коэффициент : ячейка D47=" =(D33-B33)*D46". Вычисляем следующее приближенное значение функции у₁ = у₀ + (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄ )/6: ячейка D48=" =B48+(D35+2*D39+2*D43+D47)/6". Протягиваем диапазон D34: E48 в диапазон D34: L48 для вычислений в остальных узловых точках.

Программируем рабочий лист для вычислений с шагом h=0, 1. Размещаем начальное условие : ячейка В63=" 1". Проводим расчет в 1-ой узловой точке. Вычисляем угловой коэффициент в начальной точке f(x₀ , y₀ )=х₀+у₀: ячейка C49=" =B33+B63". Вычисляем коэффициент : ячейка C50=" =(C33-B33)*C49". Вычисляем аргументы коэффициента k₂: ячейка C51=" =B33+(С33-B33)/2" (), ячейка C52=" =B63+C50/2" (y₀ + k₁/2). Вычисляем функцию f = х + у от полученных аргументов: ячейка C53=" =C51+C52". Вычисляем коэффициент : ячейка C54=" =(C33-B33)*C53". Вычисляем аргументы коэффициента k₃: ячейка C55=" =B33+(C33-B33)/2" (), ячейка C56=" =B63+C54/2" (y₀ + k₂/2). Вычисляем функцию
f = х + у от полученных аргументов: ячейка C57 = " =C55+C56". Вычисляем коэффициент : ячейка C58=" =(C33-B33)*C57". Вычисляем аргументы коэффициента k₄: ячейка C59=" =C33" (), ячейка C60=" =B63+C58" (y₀ + k₃). Вычисляем функцию f = х + у от полученных аргументов: ячейка C61=" =C59+C60". Вычисляем коэффициент : ячейка C62=" =(C33-B33)*C61". Вычисляем следующее приближенное значение функции у₁ = у₀ + (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄ )/6: ячейка C63=" = B63+(C50+2*C54+2*C58+C62)/6". Протягиваем диапазон C49: C63 в диапазон C49: L63 для вычислений в остальных узловых точках.

Вычисляем значение функции j(x) = 2e ^x – x - 1 в узловых точках: ячейка В64=" =2*EXP(B33)-B33-1" и протягиваем формулу в диапазон B64: L64. По формуле вычисляем оценку точности в узловых точках более крупной сетки: ячейка D65=" =ABS(D63-D48)/15" и протягиваем диапазон D65: E65 до ячейки L65. По формуле вычисляем фактическое отклонение приближенного значения на сетке h/2 в узлах более крупной сетки: ячейка D66=" =ABS(D64-D63) и протягиваем диапазон D66: E66 до ячейки L66. Вычисления по классическому методу Рунге-Кутта закончены.