Элементы теории. Пусть дана система двух дифференциальных уравнений первого порядка:

Пусть дана система двух дифференциальных уравнений первого порядка:

(1)

Решением системы (1) называется пара функций j₁(х) и j₂(х), при подстановке которых в систему получаются тождества:

.

Решению системы уравнений (1) соответствует интегральная кривая в пространстве трех измерений
(x, y, z). Условия, при которых через каждую точку P₀ (x₀ , y₀ , z₀ ) некоторой области D трехмерного пространства проходит единственная интегральная кривая, содержатся в теореме существования и единственности решения.

Теорема. Если функции f₁ (x, y, z) и f₂ (x, y, z) – правые части дифференциальных уравнений системы (1) – непрерывны вместе со своими частными производными по переменным y и z в некоторой области D трехмерного пространства, то для любой точки (x₀ , y₀ , z₀ ) Î D система (1) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

y(x₀ ) = y₀ , z(x₀ ) = z₀ . (2)

Задача Коши состоит в нахождении решения системы (1), удовлетворяющего начальным условиям (2).

Постановка задачи Коши для системы n дифференциальных уравнений первого порядка аналогична задаче (1)-(2), а именно, требуется найти решение системы:

(3)

при начальных условиях

y₁ (x₀ ) = y₁₀ , y₂ (x₀ ) = y₂₀ , …, y_n (x₀ ) = y_n0 . (4)

Теорема существования и единственности решения задачи Коши (3)-(4) имеет формулировку, аналогичную приведенной для частного случая
n = 2.

Введем векторные обозначения:

Тогда задача Коши в векторной форме имеет вид:

. (5)

Численное решение задачи Коши (5) состоит в том, что на отрезке
[ a, b ] требуется получить приближенные значения координат вектора в узлах сетки x_i, i = 1, 2, …, m. Обозначим вектор, аппроксимирующий решение, через , а его координаты – через y_ki, k = 1, 2, …, n,, i = 1, 2, …, m так, что y_ki = y_k (x_i) или

Будем искать решение на равномерной сетке с шагом h = (b – a) /m.

Погрешность численного метода оценивается величиной , где d_i – погрешность решения на сетке с шагом h в точке x_i:

. (6)

Практически погрешность в точке x_i оценивают по формуле Рунге. Пусть: . – значения численного решения в точке x_i, полученные для шагов h и h/2 соответственно. Тогда погрешность d_i в точке x_i для вычислений с шагом h/2 выражается приближенным равенством:

, (7)

где р – порядок точности численного метода.

Будем находить решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений с помощью классического метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Векторная форма алгоритма метода Рунге-Кутта для задачи (5) имеет вид:

,

,

,

, (8)

,

,

где

Рассмотрим применение этого алгоритма к решению системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений (1) с начальными условиями (2):

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Задача Коши для дифференциального уравнения n -го порядка ставится следующим образом: найти решение уравнения

(9)

при начальных условиях

(10)

Задача Коши (9)-(10) для дифференциального уравнения n -го порядка приводится к задаче Коши для системы n дифференциальных уравнений первого порядка (3)-(4), к которой применяются методы решения систем.

Обозначим

и выразим функцию y(x) вместе с ее производными до (n-1) -го порядка включительно через введенные функции

.

Вместо задачи (8)-(9) имеем задачу для системы уравнений:

(11)

при начальных условиях

. (12)

Численным решением задачи Коши (8)-(9) является таблица значений функции y₁ в точках x_i, i = 1, …, m.