Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Элементы теории. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных






Quot; Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных

уравнений первого порядка"

Элементы теории

 

Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид:

. (1)

Решением дифференциального уравнения (1) называется функция j(x), подстановка которой в уравнение обращает его в тождество . График решения y=j(x) называется интегральной кривой. Например, решением уравнения является функция j(x)=Сех при любом значении произвольной постоянной С.

Задача Коши для дифференциального уравнения (1) состоит в том, чтобы найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию:

. (2)

Пару чисел (x0, y0 ) называют начальными данными. Решение задачи Коши называется частным решением уравнения (1) при условии (2). Например, частным решением задачи Коши:

является функция j(x)=ех.

Частному решению соответствует одна из интегральных кривых, проходящая через точку (x0, y0 ).

Условия существования и единственности решения задачи Коши содержатся в следующей теореме.

Теорема. Пусть функция f(x, у) – правая часть дифференциального уравнения (1) – непрерывна вместе со своей частной производной по переменной у в некоторой области D на плоскости. Тогда при любых начальных данных (x0, y0 )Î D задача Коши (1)-(2) имеет единственное решение y=j(x).

При выполнении условий теоремы через точку (x0, y0 ) на плоскости проходит единственная интегральная кривая.

Численное решение задачи Коши (1)-(2) состоит в том, чтобы получить искомое решение j(x) в виде таблицы его приближенных значений для заданных значений аргумента х на некотором отрезке [ a, b ]:

x0 = a, x1, x2 , …, xm = b. (3)

Точки (3) называются узловыми точками, а множество этих точек называют сеткой на отрезке [ a, b ]. Будем использовать равномерную сетку с шагом h: h = (b – a)/m, xi – xi-1 = h или, xi = x0 + ih, i = 1, …, m. Приближенные значения численного решения задачи Коши в узловых точках xi обозначим через уi: уi = j(xi), i = 1, …, m. Для любого численного метода решения задачи Коши начальное условие (2) выполняется точно, то есть
y0 =j(x0).

Величина погрешности численного метода решения задачи Коши на сетке отрезка [ a, b ] оценивается величиной:

,

то есть расстоянием между векторами приближенного решения
0 , у1 , …, уь ) и точного решения (j(x0), j(x1), …, j(xm)) на сетке по m -норме. Говорят. что численный метод имеет р -й порядок точности по шагу h на сетке, если расстояние d можно представить в виде степенной функции от h:

d = Ch p, p > 0,

где С – некоторая положительная постоянная, зависящая от правой части уравнения (1) и от рассматриваемого метода. Очевидно, что когда шаг h стремится к нулю, погрешность d также стремится к нулю.

Простейшим численным методом решения задачи Коши является метод Эйлера, называемый иногда методом ломаных Эйлера. Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке Р00 , у0 ) есть

.

Найдем ординату у1 касательной, соответствующей абсциссе
x1 = x0 +h. Так как уравнение касательной к кривой в точке Р0 имеет вид

,

то у1 = у0 + h f(x0 , y0 ).

Угловой коэффициент в точке Р11 , у1 ) также находится из данного дифференциального уравнения . На следующем шаге получаем новую точку Р22 , у2 ), причем х2 = х1 + h, y2 = y1 + h f(x1 , y1 ). Продолжая вычисления в соответствии с этой схемой, получим формулы Эйлера для m приближенных значений решения задачи Коши с начальными данными 0 , у0 ) на сетке отрезка [ a, b ] с шагом h:

. (4)

 

 

Графической иллюстрацией приближенного решения является ломаная, соединяющая последовательно точки Р0 , Р1 , Р2 , …,
Рm
, которую называют ломаной Эйлера.

Оценим погрешность метода Эйлера на одном шаге. Для этого запишем разложение точного решения задачи Коши в точке х1 по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

Погрешность метода на одном шаге имеет порядок h2, так как

.

После m шагов погрешность вычисления значения ym в конечной точке отрезка возрастет не более, чем в m раз. Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством

или представить в виде d = Ch, где . Это значит, что метод Эйлера имеет первый порядок точности. В частности, при уменьшении шага h в 10 раз погрешность уменьшится примерно в 10 раз.

Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с шагом h/2, в точке xi Î [ a, b ] производят с помощью приближенного равенства - правила Рунге:

, (5)

где р – порядок точности численного метода. Таким образом, оценка полученного результата по формуле (5) вынуждает проводить вычисления дважды: один раз с шагом h, другой – с шагом h/2.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.