Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Элементы теории. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальныхСтр 1 из 17Следующая ⇒
Quot; Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка" Элементы теории
Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид: . (1) Решением дифференциального уравнения (1) называется функция j(x), подстановка которой в уравнение обращает его в тождество . График решения y=j(x) называется интегральной кривой. Например, решением уравнения является функция j(x)=Сех при любом значении произвольной постоянной С. Задача Коши для дифференциального уравнения (1) состоит в том, чтобы найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию: . (2) Пару чисел (x0, y0 ) называют начальными данными. Решение задачи Коши называется частным решением уравнения (1) при условии (2). Например, частным решением задачи Коши: является функция j(x)=ех. Частному решению соответствует одна из интегральных кривых, проходящая через точку (x0, y0 ). Условия существования и единственности решения задачи Коши содержатся в следующей теореме. Теорема. Пусть функция f(x, у) – правая часть дифференциального уравнения (1) – непрерывна вместе со своей частной производной по переменной у в некоторой области D на плоскости. Тогда при любых начальных данных (x0, y0 )Î D задача Коши (1)-(2) имеет единственное решение y=j(x). При выполнении условий теоремы через точку (x0, y0 ) на плоскости проходит единственная интегральная кривая. Численное решение задачи Коши (1)-(2) состоит в том, чтобы получить искомое решение j(x) в виде таблицы его приближенных значений для заданных значений аргумента х на некотором отрезке [ a, b ]: x0 = a, x1, x2 , …, xm = b. (3) Точки (3) называются узловыми точками, а множество этих точек называют сеткой на отрезке [ a, b ]. Будем использовать равномерную сетку с шагом h: h = (b – a)/m, xi – xi-1 = h или, xi = x0 + ih, i = 1, …, m. Приближенные значения численного решения задачи Коши в узловых точках xi обозначим через уi: уi = j(xi), i = 1, …, m. Для любого численного метода решения задачи Коши начальное условие (2) выполняется точно, то есть Величина погрешности численного метода решения задачи Коши на сетке отрезка [ a, b ] оценивается величиной: , то есть расстоянием между векторами приближенного решения d = Ch p, p > 0, где С – некоторая положительная постоянная, зависящая от правой части уравнения (1) и от рассматриваемого метода. Очевидно, что когда шаг h стремится к нулю, погрешность d также стремится к нулю. Простейшим численным методом решения задачи Коши является метод Эйлера, называемый иногда методом ломаных Эйлера. Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке Р0(х0 , у0 ) есть . Найдем ординату у1 касательной, соответствующей абсциссе , то у1 = у0 + h f(x0 , y0 ). Угловой коэффициент в точке Р1(х1 , у1 ) также находится из данного дифференциального уравнения . На следующем шаге получаем новую точку Р2(х2 , у2 ), причем х2 = х1 + h, y2 = y1 + h f(x1 , y1 ). Продолжая вычисления в соответствии с этой схемой, получим формулы Эйлера для m приближенных значений решения задачи Коши с начальными данными (х0 , у0 ) на сетке отрезка [ a, b ] с шагом h: . (4)
Графической иллюстрацией приближенного решения является ломаная, соединяющая последовательно точки Р0 , Р1 , Р2 , …, Оценим погрешность метода Эйлера на одном шаге. Для этого запишем разложение точного решения задачи Коши в точке х1 по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: Погрешность метода на одном шаге имеет порядок h2, так как . После m шагов погрешность вычисления значения ym в конечной точке отрезка возрастет не более, чем в m раз. Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством или представить в виде d = Ch, где . Это значит, что метод Эйлера имеет первый порядок точности. В частности, при уменьшении шага h в 10 раз погрешность уменьшится примерно в 10 раз. Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с шагом h/2, в точке xi Î [ a, b ] производят с помощью приближенного равенства - правила Рунге: , (5) где р – порядок точности численного метода. Таким образом, оценка полученного результата по формуле (5) вынуждает проводить вычисления дважды: один раз с шагом h, другой – с шагом h/2.
|