Численные методы решения задачи Коши. на равномерной сетке (x0 = a, x1 , x2 , , xm = b) отрезка [a, b] с шагом h = (b – a)/m являются методами Рунге-Кутта

на равномерной сетке (x₀ = a, x₁, x₂ , …, x_m = b) отрезка [ a, b ] с шагом
h = (b – a)/m являются методами Рунге-Кутта, если, начиная с данных
(x₀, y₀ ), решение ведется по следующим рекуррентным формулам:

(6)

Метод называют методом Рунге-Кутта порядка р, если он имеет р -й порядок точности по шагу h на сетке. Порядок точности р достигается с помощью формул (6) при определенных значениях коэффициентов c_j и d_j,
j = 1, 2, …, p; коэффициент с₁ всегда полагают равным нулю. Эти коэффициенты вычисляются по следующей схеме:

1) точное решение j(х₀ + h) и его приближение y₁ = y₀ + Dy₀(h) представляют в виде разложения по формуле Тейлора с центром х₀ вплоть до слагаемого порядка h ^p+1;

2) из равенств подобных членов при одинаковых степенях h в двух разложениях получают уравнения, решая которые находят коэффициенты c_j и d_j.

Метод Эйлера можно назвать методом Рунге-Кутта первого порядка. Действительно, для р = 1, с₁ = 0, d₁ = 1 формулы (6) преобразуются в соотношение (4):

,

или

Метод Рунге-Кутта второго порядка называют методом Эйлера-Коши, если р = 1, с₁ = 0, с₂ = 1, d₁ = d₂ = 1/2. Алгоритм метода Эйлера-Коши получается из формул (6):

. (7)

Для практической оценки погрешности решения можно применять правило Рунге, полагая в формуле (5) р = 2:

.

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка называют классическим методом Рунге-Кутта, если р = 1, с₁ = 0, с₂ = с₃ = 1/2, с₄ = 1, d₁ = d₄ = 1/6,
d₂ = d₃ = 1/3. Из рекуррентных формул (6) получим алгоритм решения задачи Коши классическим методом Рунге-Кутта:

,

,

, (8)

,

.

Графиком приближенного решения является ломаная, последовательно соединяющая точки P_i(x_i, y_i), i = 1, 2, …, m. С увеличением порядка численного метода звенья ломанной приближаются к ломаной, образованной хордами интегральной кривой y = j(x), последовательно соединяющими точки (x_i, j(x_i)) на интегральной кривой.

Правило Рунге (5) для практической оценки погрешностиприближенного решения для численного метода четвертого порядка имеет вид:

.