Приклади задач.

1. Нехай задане деяке дійсне число , а також на площині зафіксована довільна точка . Кожній точці площини поставимо у відповідність точку таку, що

. (1)

Оскільки при побудованій таким чином відповідності кожна точка має єдиний образ і різні точки мають різні образи, то введене правило задає перетворення площини. Таке перетворення площини називають гомотетією і позначають символом . Точку називають центром гомотетії, а число - коефіцієнтом гомотетії.

При вектори та напрямлені однаково, тому точки та лежать по одну сторону відносно точки .

При вектори та напрямлені протилежно, тому точки та лежать на прямій, яка містить точку , але по різні сторони відносно неї (рис. 1).

При виконується рівність , тому точки та співпадають. Отже, гомотетія з коефіцієнтом є тотожнім перетворенням.

При із умови (1) дістаємо, що . Одержана рівність означає, що точки та розташовані симетрично відносно точки . Тому гомотетія з коефіцієнтом є центральною симетрією з центром у точці .

Нехай задані дві гомотетії та із спільним центром у точці та коефіцієнтами і , а також та . Оскільки виконуються рівності та , то . Таким чином, композиція двох гомотетій із спільним центром та коефіцієнтами та є гомотетією із тим же центром та коефіцієнтом , тобто .

Із рівності (1) дістаємо , тобто перетворення, яке є оберненим до гомотетії , теж є гомотетією з тим же центром та коефіцієнтом : . Сказане вище дозволяє стверджувати, що множина всіх гомотетій із спільним центром утворює групу.

Виберемо на площині довільну афінну систему координат з початком у точці, яка є центром гомотетії, та розглянемо точку . Якщо точка є гомотетичною до точки , то із рівності (1) випливає, що

. (2)

Одержані співвідношення є частинним випадком формул

,

які визначають афінні перетворення (лекція 27), тому можна стверджувати, що група гомотетій є підгрупою групи афінних перетворень та володіє всіма властивостями останньої.

Якщо центр гомотетії розташувати у деякій точці , відмінній від початку координат, то формули (2) набудуть виду

. (3)

Для того, щоб у цьому переконатися, достатньо прирівняти координати векторів в обох частинах рівності .

Використаємо співвідношення (2) та (3) для того, щоб дати відповідь на питання, яке перетворення являє собою композиція двох осьових симетрій з центрами у різних точках?

Нехай задані дві гомотетії з коефіцієнтами та . Виберемо центр першої із них у початку координат (точці ), а центр другої - у точці . Нехай образом точки при гомотетії буде точка , а образом точки при гомотетії буде точка . Оскільки при цьому будуть виконуватись рівності

та ,

то

,

звідки

. (4)

Нехай . Тоді, перетворивши одержані рівності до виду

(5)

та порівнявши їх із (3), можна зробити висновок, що , де точка - центр гомотетії, яка є композицією двох заданих. Очевидно, що ця точка належить прямій .

При , коли співвідношення (5) втрачають зміст, рівності (4) набувають виду

та, очевидно, задають паралельне перенесення.

2. Розглянемо деякі властивості гомотетії. Як було сказано вище, гомотетія, будучи частинним випадком афінних перетворень, володіє всіма властивостями цих перетворень. Зокрема при гомотетії:

1) колінеарні вектори відображаються у колінеарні;

2) пряма відображається на пряму, причому паралельні прямі переходять у паралельні прямі;

3) відрізок переходить у відрізок, а точка, яка ділить відрізок у деякому відношенні, переходить у точку, яка ділить образ відрізка у такому ж відношенні. Зокрема середина відрізка переходить у середину відрізка;

4) півплощина переводиться у півплощину;

5) перетворення гомотетії можна задавати відповідністю двох реперів та , де , .

Властивість 2) дозволяє запропонувати спосіб відшукання образу довільної точки, якщо відомий центр гомотетії та пара відповідних гомотетичних точок. Справді, нехай і задана довільна точка . Якщо точка не належить прямій , то образ точки буде знаходитися на перетині прямої та прямої, яка проходить через точку паралельно до прямої (рис. 2). Якщо ж точка належить прямій , то спочатку знаходять образ довільної точки, яка не належить прямій , а потім за допомогою пари одержаних гомотетичних точок знаходять образ точки .

6). Нехай задані дві різні паралельні прямі та , причому . Тоді існує єдина гомотетія, яка точку переводить у точку ,

а точку - у точку . Такою є гомотетія з коефіцієнтом та з центром у точці, в якій перетинаються прямі та (рис. 3). Умова того, що задані паралельні прямі – різні, не є обов’язковою. Пропонуємо у вигляді окремої задачі побудувати точку, яка є центром гомотетії, у випадку, коли прямі та співпадають. Наведені міркування обґрунтовують той факт, що гомотетію можна задавати також двома парами відповідних точок, які задовольняють наведені вище обмеження.

Зупинимося на деяких інших властивостях, характерних для гомотетій.

Теорема 1. При гомотетії відстані між точками змінюються в одне і те ж число разів. Рівні відрізки відображаються на рівні відрізки.

Доведення. Нехай та . Тоді виконуються рівності та . Тому

.

Отже,

,

що доводить першу частину теореми. Оскільки довжини відрізків, які є образами рівних відрізків, відрізняються від довжин прообразів однаковим множником , то вони рівні.

Теорема доведена.

Теорема 2. При гомотетії зберігаються величини кутів.

Доведення цього факту є наслідком того, що при гомотетії паралельні прямі переводяться у паралельні.

Наслідок. Перпендикулярні прямі при гомотетії переходять у перпендикулярні.

Теорема 3. При гомотетії коло з радіусом переходить у коло з радіусом , центр якого знаходиться у точці, яка є образом центра заданого кола.

Доведення. Відмовляючись від чисто геометричного доведення, використаємо методи аналітичної геометрії. Помістимо початок прямокутної декартової системи координат у центрі гомотетії та нехай вісь проходить через центр заданого кола. Оскільки рівняння заданого кола можна записати у виді , то використавши формули гомотетії

,

отримаємо рівняння гомотетичної фігури у виді . Перетворивши одержане співвідношення до виду , бачимо, що воно визначає коло з радіусом , центр якого розташований у точці , яка є гомотетичною до центра заданого кола.

Теорема 4. Існує дві гомотетії, кожна із яких переводить деяке коло у довільне неконгруентне коло.

оскільки відображають центр кола у центр кола , а точку на колі – у точку на колі . Центр однієї із гомотетій розташований у точці перетину прямих та , а її коефіцієнт при умові, що точки та розташовані по одну сторону відносно прямої , дорівнює . Центр другої гомотетії розташований у точці перетину прямих та , а її коефіцієнт рівний . Третьої гомотетії, яка відображає коло на нема, оскільки вона перевела б радіус у паралельний радіус кола , тобто у радіус або і співпала б із однією із двох побудованих гомотетій.

Якщо центри кіл співпадають, то коло на відображають дві гомотетії з центром у центрі даних кіл та коефіцієнтами і .

3. Нехай задано дійсне число .

Означення. Перетворення площини, при якому відстані між точками змінюються в одне і те ж число разів, називається перетворенням подібності з коефіцієнтом подібності .

Згідно з означенням, якщо точки та відображаються при перетворенні подібності з коефіцієнтом на точки та , то .

Такі перетворення існують і прикладом може бути гомотетія з довільним коефіцієнтом , при якій, як ми знаємо, відстані між точками змінюються в

разів. Позначатимемо перетворення подібності з коефіцієнтом символом .

Перетворення подібності з коефіцієнтом є рухом, оскільки воно не змінює відстані між точками. Тому рухи є частинним випадком перетворень подібності.

Множина всіх перетворень подібності утворює групу. Справді, композиція двох перетворень, які змінюють відстані між образами точок в та число разів теж буде перетворення подібності, яке змінює відстані між парами відповідних точок у разів. Перетворення, обернене до , змінює відстані між прообразами в разів, тобто .

Встановимо зв'язок між групою перетворень подібності та групою афінних перетворень. Нехай - деяке перетворення подібності з коефіцієнтом . Тоді , де - гомотетія з центром у довільній точці та коефіцієнтом , - рух. Тому

.

Таким чином, довільне перетворення подібності з коефіцієнтом можна представити у вигляді композиції гомотетії з довільним центром і коефіцієнтом та руху. Оскільки обидва дані перетворення є афінними, то група перетворень подібності є підгрупою групи афінних перетворень і їй характерні всі властивості цієї групи.

Отже, при перетворенні подібності

1) колінеарні вектори відображаються у колінеарні;

2) пряма відображається на пряму, причому паралельні прямі переходять у паралельні прямі;

3) відрізок переходить у відрізок, а точка, яка ділить відрізок у деякому відношенні, переходить у точку, яка ділить образ відрізка у такому ж відношенні. Зокрема середина відрізка переходить у середину відрізка;

4) півплощина переводиться у півплощину;

5) зберігаються величини кутів, зокрема перпендикулярні прямі переходять у перпендикулярні.

6). Перетворення подібності можна задавати відповідністю двох реперів та , де , , , - кут між векторами та . Нагадаємо, що при такому способі задання перетворення точці , яка розглядається у початковому репері, ставиться у відповідність точка з такими ж координатами, але уже відносно другого репера.

Як наслідок, можна стверджувати, що перетворення подібності можна задавати відповідністю трьох пар неколінеарних точок при умові, що .

Використаємо одержаний вище факт для виведення співвідношень, які аналітично задають перетворення подібності. Розглянемо гомотетію з коефіцієнтом та центром у початку прямокутної декартової системи координат – точці . Нехай при цій гомотетії точка переходить у точку , а при русі точка переходить у точку . Оскільки при цьому будуть виконуватися рівності

та

(див. л. 27, п. 1), то отримуємо співвідношення

, (6)

які і є аналітичним вираженням перетворень подібності.

Поклавши у співвідношеннях (2) , можна шукати інваріантні точки даного перетворення.

Оскільки при гомотетії не змінюється орієнтація площини і при рух теж не змінює орієнтацію площини, то у цьому випадку не змінює орієнтацію площини. Такі перетворення називають перетвореннями подібності першого роду.

При рух змінює орієнтацію площини на протилежну, тому перетворення теж змінює орієнтацію площини. Його називають перетворенням подібності другого роду.

Назвемо дві фігури та подібними, якщо у групі перетворень подібності існує перетворення, яке фігуру відображає на фігуру .

Той факт, що фігура подібна до фігури , будемо записувати у виді ~ .

Два довільні кола, квадрати та інші правильні многокутники із однаковим числом сторін, ромби з однаковим відношенням діагоналей – подібні. Із шкільному курсі геометрії відомі ознаки подібності трикутників, згідно з якими два трикутники подібні, якщо: 1) їхні сторони пропорційні, 2) вони мають по дві пропорційні сторони та рівні кути між ними, 3) вони мають по два рівні кути.

Відношення подібності є рефлексивним, симетричнимта транзитивним. Справді:

1) ~ , оскільки кожна фігура відображається на себе тотожнім перетворенням; яке, очевидно, є перетворенням подібності;

2) якщо фігура подібна фігурі , то фігура подібна фігурі , оскільки вона відображається на неї оберненим перетворенням;

3) якщо фігура ~ та ~ , то ~ , оскільки фігура відображається на фігуру перетворенням подібності, яке є композицією

двох перетворень подібності, перше з яких переводить у , а друге - у .

Таким чином відношення ~ “бути подібним”, задане на множині всіх геометричних фігур, є відношенням еквівалентності. Дане відношення розбиває цю множину на класи еквівалентності, кожний із яких називають формою фігури.

4. Розглянемо деякі задачі, при розв’язанні яких використовуються перетворення подібності.

Задача 1. Довести, що точка , яка є центром трикутника (точкою перетину медіан), точка , яка є центром описаного навколо трикутника кола та ортоцентр (точка перетину висот трикутника) лежать на одній прямій (так званій прямій Ейлера). При цьому виконується рівність .

Доведення. Нехай у трикутнику медіани та перетинаються у точці , висоти та - у точці , а серединні перпендикуляри до сторін та - у точці (рис. 4). Розглянемо гомотетію . Згідно із властивістю медіан трикутника , . Таким чином, пряма при даній гомотетії відобразиться на паралельну пряму , а пряма - на паралельну пряму . Тому точка , у якій перетинаються прямі та , перейде у точку перетину прямих та , тобто у точку . Отже, , або . Одержана рівність означає, що точки , та лежать на одній прямій, а також те, що виконується рівність .

Задача 2. Довести, що середини основ трапеції, точка перетину її діагоналей та точка, в якій перетинаються прямі, яким належать бічні сторони трапеції, лежать на одній прямій.

Доведення. Нехай задана трапеція , діагоналі та якої перетинаються у точці , точки та - середини онов відповідно та , а продовження бічних сторін перетинаються у точці (рис. 5).

Розглянемо гомотетію , де . Вона відображає точки та відповідно у точки та . Тому відрізок при цій гомотетії відображається

на відрізок , а середина відрізка - точка переходить у середину відрізка - точку . Отже, точки , та лежать на одній прямій. Гомотетія , де відображає точки та відповідно у точки та , відрізок - на відрізок та переводить середину відрізка у середину відрізка . Отже, точки , та лежать на одній прямій. Таким чином, усі чотири точки, задані в умові задачі, належать одній прямій.

Зауважимо, що розглянута задача фактично дає відповідь на те, як за допомогою однієї двохсторонньої лінійки (тобто лінійки з двома паралельними краями) побудувати середину заданого відрізка. Побудова виглядає наступним чином. Нехай задано деякий відрізок . За допомогою лінійки проводимо дві паралельні прямі, одна з яких містить заданий відрізок та поза одержаною смужкою вибираємо довільну точку . Проводимо прямі та і знаходимо точки їх перетину з другою прямою (нехай це точки та відповідно). Через точку та точку перетину прямих та проводимо ще одну пряму. Точка , у якій вона перетне відрізок , є його серединою.

Задача 3. У даний трикутник вписати квадрат.

Розв’язання. Нехай - заданий трикутник та - квадрат, вершини та якого належать стороні , а вершина - стороні заданого трикутника. Нехай промінь перетинає сторону у точці . Розглянемо гомотетію з центром у точці та коефіцієнтом , яка точку переводить у точку . Точки при вибраній гомотетії відобразяться у точки , які належать сторонам трикутника (рис. 6), причому ॥ , ॥ і ॥ .

Чотирикутник є шуканим квадратом, оскільки він є прямокутником з рівними сторонами (при гомотетії зберігається перпендикулярність прямих, а рівні відрізки переводяться у рівні відрізки).

Після виконаного аналізу побудова шуканого квадрата є очевидною. Зауважимо, що задача має три розв’язки у випадку гострокутного трикутника, два розв’язки, якщо трикутник прямокутний та єдиний розв’язок, якщо трикутник тупокутний.

Задача 4. Побудувати трикутник за трьома висотами.

Розв’язання. Нехай - висоти трикутника із сторонами та - його площа. Оскільки виконуються рівності або , то заданий трикутник подібний до трикутника із сторонами ,

, . Нехай - висоти трикутника із сторонами та - його площа. З рівностей або робимо висновок, що трикутник із сторонами теж подібний до трикутника із сторонами , , , тому трикутники та подібні.

Таким чином, побудова трикутника за трьома висотами може виконуватися наступним чином: 1) будується трикутник із сторонами та у ньому проводяться висоти ; 2) будується трикутник із сторонами і у ньому проводиться одна із висот – нехай висота ; 3) виконується гомотетія з центром у точці та коефіцієнтом , яка переводить трикутник у шуканий трикутник (рис. 7).

Задача має єдиний розв’язок, якщо можлива побудова трикутників та , тобто, якщо виконуються нерівності та + > , + > , + > .