Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Композиції деяких геометричних перетворень.
|
|
1. Нехай задано дві множини 
та 
елементів довільної природи. Поставимо певним чином у відповідність кожному елементу 
єдиний елемент 
. У цьому випадку говорять, що задано відображення множини в множину . Позначимо дане відображення через 
. Той факт, що елемент 
відображається в елемент 
будемо записувати у виді 
або 
. При цьому елемент називають образом елемента , а елемент - прообразом елемента .
Множину називають областю визначення відображення .
Множину 
всіх елементів , кожний із яких має свій прообраз у множині , називають областю значень відображення . Якщо 
, тобто коли кожний елемент має свій прообраз, то говорять, що множина відображається на множину . Такі відображення називають сюр’єктивними.
Якщо двом різним елементам 
та 
із множини відповідають різні елементи множини , тобто з того, що 
, випливає, що 
, то такі відображення називають ін’єктивними.
Відображення, які є одночасно ін’єктивними та сюр’єктивними, називають бієктивними або взаємно однозначними.
На рисунку 1 у ролі множини вибрано точки кола, а у ролі множини - точки діаметра цього кола. Відображення побудовано так, що кожній точці кола поставлено у відповідність її ортогональну проекцію на діаметр. Дане відображення є сюр’єктивним, але не ін’єктивним.
На рисунку 2 множину утворюють точки півкола, а множину - точки прямої, яка містить діаметр кола. Відображення побудовано так, як і у попередньому прикладі. У даному випадку ми маємо приклад ін’єктивного, але не сюр’єктивного відображення.
Приклад бієктивного відображення наведено на рисунку 3, де - точки півкола, а - точки його діаметра.
Якщо множини та співпадають, то говорять про відображення множини на себе. Нехай - множина точок площини (або деякої фігури 
), а - взаємно однозначне відображення цієї множини на себе. У цьому випадку називають перетворенням площини (фігури ).
Наведемо приклади окремих перетворень площини.
1. Нехай заданий вектор 
, паралельний до деякої площини. Довільній точці 
площини поставимо у відповідність точку 
таку, що 
. Одержане перетворення, яке ми дальше будемо позначати символом 
, називається паралельним перенесенням на вектор .
2. Нехай на площині задана деяка пряма 
. Кожній точці площини поставимо у відповідність симетричну їй відносно прямої точку . Нагадаємо, що дві точки називаються симетричними відносно деякої прямої, якщо відрізок, який їх сполучає, перпендикулярний до даної прямої та ділиться нею пополам. Симетричними до точок на прямій вважаються ці самі точки. Побудоване таким чином відображення є перетворенням площини. Його називають симетрією відносно прямої або осьовою симетрією. Пряму при цьому називають віссю симетрії. Розглянуте перетворення дальше будемо позначати символом 
.
3. Зафіксуємо на площині деяку точку 
та поставимо у відповідність довільній точці точку , симетричну їй відносно точки (тобто точка є серединою відрізка 
). Симетричною до точки вважається ця сама точка. Побудоване перетворення площини називають симетрією відносно точки або центральною симетрією. Точку називають центром симетрії. Позначати перетворення центральної симетрії будемо символом 
.
4. Розглянемо на площині деяку точку та орієнтований кут 
, тобто кут із вказаним на ньому напрямком повороту однієї сторони кута до суміщення з другою найкоротшим шляхом. Поставимо у відповідність довільній точці точку таку, що 
та орієнтовані кути 
та рівні. У цьому випадку кажуть, що точку одержали в результаті повороту точки навколо точки на кут . Точці при цьому поставимо у відповідність цю саму точку. Ми одержали перетворення площини, яке називають поворотом навколо точки на кут та позначають 
. Очевидно, що поворот навколо точки на кут 
є центральною симетрією з центром у даній точці, тобто 
.
5. Поставимо у відповідність кожній точці площини цю саму точку. Дане перетворення площини називається тотожнім. Тотожне перетворення будемо позначати символом 
.
Наведені приклади не вичерпують усі можливі види геометричних перетворень. Дальше ми детальніше розглянемо як дані, так і інші геометричні перетворення площини, а також їхні застосування.
2. Розглянемо множину елементів довільної природи та вважатимемо, що на ній задана бінарна операція, тобто правило, за яким кожним двом елементам цієї множини поставлено у відповідність єдиний елемент цієї ж множини. Позначимо дану операцію символом 
.
Пару 
називають групою, якщо:
1) бінарна операція асоціативна, тобто для довільних елементів 
виконується рівність 
,
2) існує елемент 
такий, що для довільного 
виконується умова 
(елемент у цьому випадку називають нейтральним),
3) для довільного у множині знайдеться елемент 
такий, що 
(елемент називають симетричним до 
та позначають 
).
Нехай - деяка підмножина множини та 
є групою. Тоді її називають підгрупою групи 
.
Теорема. Для того, щоб група була підгрупою групи необхідно та достатньо, щоб виконувалися такі умови: 1) для довільних елементів 
елемент 
належить підмножині , 2) для довільного елемента 
симетричний до нього елемент теж належить множині .
Дальше ми побачимо важливість понять групи та підгрупи в геометрії, але спочатку зупинимось на деяких нових означеннях, які стосуються теорії геометричних перетворень.
Оскільки перетворення площини є взаємно однозначним відображенням, то поряд із кожним перетворенням , яке різним точкам площини ставить у відповідність їх різні образи, можна розглядати інше відображення, яке кожному образу ставить у відповідність його прообраз. Очевидно, що це відображення теж є перетворенням площини.
Таке перетворення називають оберненим до та позначають 
. Таким чином, якщо 
, то 
. Відмітимо, що серед наведених вище прикладів оберненим до паралельного перенесення на вектор є паралельне перенесення на вектор - , тобто 
, а перетворенням, оберненим до повороту навколо точки на кут є поворот навколо даної точки на кут - : 
. Нескладно переконатися також у тому, що 
, 
.
Розглянемо множину всіх перетворень площини та візьмемо з неї два довільні перетворення та 
. Нехай при перетворенні точка відображається у точку , а при перетворенні точка переходить у точку 
. Відображення, при якому точці ставиться у відповідність точка теж є перетворення площини, оскільки при кожному із виконаних перетвореннях та різні точки переходять у різні.
Одержане перетворення, яке ми позначимо через 
, називають композицією перетворень та і записують у виді 
. Отже, згідно із введеним означенням,
.
Покажемо, що пара 
, тобто множина всіх перетворень площини із введеною на ній бінарною операцією (композицією перетворень), утворює групу. Для доведення зауважимо, що для трьох довільних перетворень 
виконується рівність
. (1)
Справді, згідно з означенням композиції перетворень
.
Аналогічно
,
що завершує доведення рівності (1).
У ролі нейтрального елемента виступає тотожне перетворення 
, оскільки очевидно, що для довільного перетворення 
виконується рівність 
. На завершення доведення зауважимо, що, як було відмічено вище, для довільного перетворення існує обернене перетворення , яке у множині виконує роль оберненого (симетричного) елемента, оскільки 
.
Групу називають групою геометричнихперетворень.
Зауваження. Покажемо дещо інше за формою запису, але по суті аналогічне до розглянутого вище доведення рівності (1). Нехай 
, 
, 
(рис. 4).
Тоді 
, 
, тому 
і 
, що потрібно було довести.
Наведемо приклади підгруп групи геометричних перетворень.
1). Розглянемо множину всіх паралельних перенесень. Нехай при перетворенні 
точка переходить в точку , а при перетворенні 
точка переходить в точку , тобто 
, 
. Тоді, оскільки 
, то 
, тобто композиція двох розглянутих паралельних перенесень є паралельне перенесення. Як було сказано вище, оберненим до паралельного перенесення на вектор є паралельне перенесення на вектор - , тобто . Тому множина всіх паралельних перенесень утворює підгрупу групи геометричних перетворень.
2). Розглянемо множину всіх поворотів навколо фіксованої точки . Нехай при повороті точка переходить в точку , а при повороті 
точка переходить в точку . Тоді, оскільки 
і 
, то
, тобто композиція двох поворотів із спільним центром є поворот навколо даного центра. Перетворенням, оберненим до повороту навколо точки на кут є поворот навколо даної точки на кут - : . Отже, множина всіх поворотів навколо фіксованого центра теж утворює підгрупу групи геометричних перетворень.
3. Зупинимось на питанні композиції деяких геометричних перетворень.
Приклад 1. Нехай на площині задані дві точки 
та 
. Розглянемо перетворення площини, яке полягає у тому, що довільна точка спочатку симетризується відносно точки , а потім її образ симетризується відносно точки . Очевидно, що мова іде про композицію двох центральних симетрій 
. Нехай 
та 
(рис. 5).
Якщо точка не належить прямій 
, то у трикутнику 
відрізок буде середньою лінією, тому 
. Аналогічну рівність легко отримати і у випадку, коли точка належить прямій . Таким чином, композиція двох центральних симетрій переводить точку у точку , тому має місце рівність
.
Приклад 2. Нехай на площині задані три точки , та 
, які не лежать на одній прямій. Розглянемо питання, яке перетворення являє собою композиція трьох центральних симетрій відносно даних точок, тобто перетворення 
. Нехай , та 
, а також точка 
є серединою відрізка 
(рис. 6). Тоді чотирикутник 
буде паралелограмом, оскільки відрізки та 
рівні та паралельні (вони є середніми лініями трикутників та 
). Таким чином, точки та 
симетричні відносно точки .
Отже,
,
де точка - четверта вершина паралелограма .
Застосуємо одержаний факт до розв’язання задачі про побудову п’ятикутника за серединами його сторін.
Нехай 
- шуканий п’ятикутник та точки 
- середини його сторін (рис. 7). Очевидно, що для розв’язання задачі достатньо знайти хоча б одну вершину п’ятикутника.
Проведемо аналіз. При симетрії вершини 
відносно точки 
одержимо точку 
. Симетрія її відносно точки 
дає точку 
. Продовжуючи аналогічні міркування дальше, в кінці ми симетризуємо вершину 
відносно точки 
та одержимо початкову точку .
Таким чином отримуємо рівність
. (2)
Використовуючи результати прикладу 3, дістаємо, що 
, де - четверта вершина паралелограма 
. Тому рівняння (2), у якому невідомим є точка , можна спростити до виду
.
Оскільки 
, де 
- четверта вершина паралелограма 
, то отримуємо рівність 
, яка можлива тільки тоді, коли точки та співпадають.
Таким чином, для відшукання невідомої вершини п’ятикутника спочатку, використавши точки 
та 
, знаходять точку - четверту вершину паралелограма , а потім будують шукану точку , як четверту вершину паралелограма 
.
Приклад 3. Розглянемо композицію двох осьових симетрій відносно паралельних прямих та 
, тобто перетворення 
. Нехай відстань між прямими дорівнює 
. Щоб встановити вид перетворення 
введемо у розгляд прямокутну декартову систему координат, направивши вісь 
по прямій . Нехай пряма перетинає вісь 
у точці 
. Тоді при осьовій симетрії відносно прямої точка 
перейде у точку 
, а при осьовій симетрії відносно прямої точка перейде у точку 
, оскільки точка 
є серединою відрізка 
(рис. 8). Звернувши увагу на те, що вектор 
не залежить від вибору точки , робимо висновок, що перетворення є
паралельне перенесення на вектор 
, довжина якого дорівнює подвійній відстані між прямими та і який напрямлений перпендикулярно до заданих прямих від прямої до прямої . Таким чином,
.
Одержану рівність можна розуміти і навпаки, а саме: довільне паралельне перенесення на вектор можна замінити композицією двох осьових симетрій відносно двох паралельних прямих, проведених перпендикулярно до вектора та розташованих на відстані 
.
Приклад 4. Розглянемо композицію двох осьових симетрій відносно двох прямих та , які перетинаються. Позначимо дане перетворення 
через 
та встановимо його вид. Будемо вважати, що дані прямі перетинаються у деякій точці та утворюють кут . Нехай при осьовій симетрії відносно прямої точка перейде у точку , а при осьовій симетрії відносно прямої точка перейде у точку (рис. 9). Легко бачити, що 
, а також, що 
. Тому перетворення є поворот навколо точки на кут 
:
.
Навпаки, будь-який поворот навколо точки на кут можна розглядати, як композицію двох осьових симетрій відносно двох прямих, які перетинаються у точці та утворюють кут .
|
|