Приклади задач, розв’язання яких ґрунтується на застосуванні інверсії.

1. Розглянемо множину всіх точок площини, крім деякої точки , та побудуємо відображення даної множини на себе. Для цього використаємо коло із центром у точці та радіусом . Кожній точці площини поставимо у відповідність таку точку , яка належить променю та виконується рівність

. (1)

Оскільки при такій відповідності різні точки переводяться у різні та кожна точка має єдиний прообраз, то дане відображення є перетворенням площини із “виколотою” точкою . Таке перетворення називають інверсією із центром у точці та коефіцієнтом . Коло називають колом інверсії. Позначимо інверсію символом . Якщо ,

Безпосередньо із означення випливають такі найпростіші властивості інверсії:

1) точки кола відображаються на себе;

2) точки, які розташовані всередині кола, відображаються у точки, які розташовані поза колом, а точки, які розташовані поза колом інверсії, відображаються у точки, які розташовані всередині кола;

3) якщо точка необмежено наближається до точки , то інверсна їй точка рухається у . Як наслідок, відстані між точками при інверсії не зберігаються;

4) якщо точка при інверсії переходить у точку , то точка переводиться у точку . Точки та називають інверсними.

5) якщо при інверсії фігура переходить у фігуру , то фігура переводиться у фігуру .

Розглянемо способи побудови інверсних точок. Нехай точка розташовані всередині кола . Проведемо промінь та побудуємо у точці перпендикулярну до нього пряму . Нехай точка - одна із точок перетину прямої та кола . Точка, у якій перетинаються промінь та дотична до кола, яка проведена у точці , є шуканою інверсною точкою (рис. 1). Справді, із подібності прямокутних трикутників та

випливає, що , тому , тобто точка є інверсною до точки .

Якщо точка розташована поза колом, то з неї спочатку проводять дотичну до кола, а потім з точки дотику опускають перпендикуляр на промінь . Точка перетину перпендикуляра із променем є шуканою інверсною точкою.

2. Виведемо співвідношення, які зв’язують координати довільної точки та її образу при інверсії . Для цього виберемо початок прямокутної декартової системи координат у точці . Нехай - координати точки , а - координати інверсної до неї точки , а також . Оскільки виконуються рівності

, (2)

то

,

звідки . Тепер співвідношення (2) набувають виду

(3)

і дають можливість, знаючи координати точки , знаходити координати інверсної до неї точки . Назвемо одержані співвідношення формулами інверсії.

Оскільки образом точки при інверсії є точка , то рівності (3) можна також представити у виді

. (4)

Порівнюючи співвідношення (3), (4) із формулами афінних перетворень, можна зробити висновок, що інверсія не є афінним перетворенням.

Перейдемо до дослідження образів деяких геометричних фігур при перетворенні інверсії.

Теорема 1. Пряма, яка проходить через центр інверсії, при інверсії відображається на себе. Пряма, яка не проходить через центр інверсії, при інверсії відображається на коло, яке проходить через центр інверсії.

Доведення. Нехай задана пряма . Використовуючи рівності (4), знайдемо рівняння образу даної прямої. Дістаємо , або

.

При одержана рівність визначає пряму, яка проходить через початок координат, тобто через центр інверсії.

Якщо , то, записавши одержане співвідношення у виді

,

переконуємось у тому, що воно визначає коло, яке проходить через центр інверсії.

Якщо пряма перетинає коло інверсії, але не проходить через його центр, то для побудови інверсного до неї кола використовують ці дві точки перетину та точку , які належать шуканому колу (рис. 2).

Якщо пряма дотикається до кола інверсії у деякій точці , то інверсним до прямої буде коло з діаметром (рис. 3).

У випадку, коли пряма не перетинає коло інверсії, через точку проводять пряму перпендикулярно до заданої прямої. Нехай вони перетинаються у деякій точці . Дальше для точки будується інверсна до неї точка та на діаметрі будується інверсне до прямої коло (рис. 4).

Теорема 2. Коло, яке проходить через центр інверсії, відображається на пряму, яка не проходить через центр інверсії. Коло, яке не проходить через центр інверсії, відображається на коло, яке не проходить через центр інверсії.

Доведення. Доведення першої частини теореми випливає з попередньої теореми та властивості 5).

У випадку кола, яке не проходить через центр інверсії, виберемо вісь так, щоб вона проходила через центр кола. Тоді його рівняння можна записати у виді , причому . Використавши рівності (4), дістаємо рівняння інверсної фігури у виді або , де , . Оскільки при дістаємо, що , то одержане рівняння визначає коло, яке не проходить через центр інверсії. Теорема доведена.

Для побудови кола, яке інверсне до заданого, можна знайти образи трьох точок заданого кола, або побудувати дві точки, які інверсні до кінців діаметра заданого кола. У випадку, коли задане коло має із колом інверсії спільні точки, їх можна використати при побудові шуканого інверсного кола, оскільки вони належать цьому колу (на рис. 5 – це точки та ). Потрібно розуміти, що центри інверсних кіл не є інверсними точками, тому шукати центр інверсного кола, як образ центра заданого кола є помилкою.

Зауважимо, що існують чисто геометричні доведення теорем 1 та 2. Їх можна знайти, наприклад, у посібнику .

Кутом між двома лініями у деякій точці їх перетину називають кут між дотичними до цих ліній, які проведені у даній точці.

Два кола називають ортогональними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

Для побудови кола, ортогонального до заданого, достатньо у довільній точці кола провести дотичну, яка, очевидно, буде перпендикулярною до радіуса, проведеного у точку дотику. Коло з центром у довільній точці дотичної, яке проходить через точку дотику, буде ортогональним до заданого кола.

Теорема 3. Коло, ортогональне до кола інверсії, переходить при інверсії у себе.

Доведення. Нехай коло з центром у точці ортогональне до кола інверсії з центром у початку координат та радіусом , а також точка - одна із двох точок перетину даних кіл (рис. 6). Із прямокутного трикутника дістаємо , або , де - радіус кола . Використавши останнє співвідношення та рівності , , отримані при доведенні теореми 2, дістаємо . Отже, коло , ортогональне до кола інверсії , переходить при інверсії у себе.

Теорема 4. При інверсії зберігаються кути.

Доведення. Нехай дві лінії перетинаються у деякій точці та утворюють кут , а також рівняння дотичних, проведених у цій точці, мають вид : та : (рис. 7).

Очевидно, що . При інверсії дані лінії перейдуть у деякі інші лінії, кут між якими буде визначатися, як кут між дотичними до цих ліній, або кут між образами дотичних та , якими, як ми знаємо, будуть прямі або кола. Знайдемо рівняння образів дотичних. Дістаємо

,

або

.

Диференціюючи одержані рівності, знаходимо

,

звідки

.

Обчисливши значення знайдених похідних у точці , яка є інверсною до точки , тобто при , , знаходимо кутові коефіцієнти

інверсних напрямків. Тепер знайдемо кут між ними. Для спрощення перетворень введемо заміни . Після нескладних перетворень дістаємо

= , звідки випливає, що .

Зауважимо, що перетворення площини, при яких зберігаються кути, називаються конформними.

3. Суть методу інверсії при розв’язуванні геометричних задач полягає у тому, що поряд із заданими та шуканими точками, прямими та колами розглядаються також інверсні до них відносно певного кола фігури, тобто деякі інші точки, прямі та кола. При вдалому виборі кола інверсії це часто надає

можливість звести початкову задачу до простішої. Покажемо це на окремих прикладах.

Задача 1. Побудувати коло, яке проходить через певну точку та дотикається до двох заданих кіл, що дотикаються між собою.

Розв’язання. Нехай задано точку та два кола та , які дотикаються у точці . Виберемо коло з центром у точці довільного радіуса у ролі кола інверсії. При інверсії точка відобразиться у деяку точку (якщо вибрати , то точки та будуть співпадати). Фігури, які будуть інверсними до кіл та , являтимуть собою, очевидно, дві паралельні прямі та , які не проходять через точку (теорема 2), а шукане коло (назвемо його ) перетвориться у коло , яке проходитиме через точку та матиме із прямими та по єдиній спільній точці, тобто буде до них дотикатися (рис. 8).

Задача про побудову кола , яке проходить через точку та дотикається до двох паралельних прямих та , є простішою. Радіус такого кола дорівнює половині відстані між паралельними прямими, а його центр розташований на середній лінії смуги, яка утворена паралельними прямими, та на відстані, яка дорівнює радіусу цього кола, від точки .

Після побудови кола ще одна інверсія переведе його у шукане коло . Справді, воно буде проходити через точку, інверсну до точки , тобто через точку , а також, маючи по єдиній спільній точці з прямими та , матиме також по єдиній спільній точці з колами та , тобто дотикатиметься до них.

У залежності від взаємного розташування заданих в умові задачі точки та кіл, можна отримати нуль, один або два розв’язки.

Зауважимо, що радіус кола інверсії доцільно вибрати так, щоб воно перетинало кола та , оскільки тоді побудова інверсних до кіл прямих здійснюється простіше, а саме за допомогою двох пар точок перетину заданих кіл з колом інверсії.

Задача 2. Побудувати коло, яке дотикається до даного кола, а також проходить через дві задані точки, які не належать колу.

Розв’язання. Нехай задано точки та і коло . Виберемо в ролі кола інверсії коло з центром у точці , радіус якого рівний довжині дотичної, проведеної з точки до кола . При інверсії відносно цього кола точка відобразиться у деяку точку , коло відобразиться на себе, оскільки воно

ортогональне до кола інверсії (теорема 3), а шукане коло , яке проходить через центр інверсії, перетвориться у пряму , яка проходить через точку та має із колом єдину спільну точу, тобто дотикається до нього (рис. 9).

Задача на мові інверсних фігур звелася до побудови прямої , яка проходить через точку та дотикається до кола . Один із способів розв’язання одержаної допоміжної задачі виглядає так. На відрізку, який сполучає дану точку з центром кола, як на діаметрі будується коло. Прямі, які проходять через дану точку та токи перетину двох кіл, є шуканими дотичними (рис. 10).

Наступна інверсія переводить одержані прямі у шукані кола . Справді, вони будуть проходити через центр інверсії –точку , точку , яка інверсна до точки , а також, маючи єдину спільну точку з колом , дотикатиметься до нього.

Задача може мати два, один або не мати жодного розв’язку у залежності від того, як розташовані точки відносно кола. Якщо одна з точок розташована всередині кола, а друга поза ним – то розв’язків не буде, а якщо обидві точки одночасно знаходяться всередині кола, або поза ним – то задача матиме два розв’язки.

Задача 3. Побудувати коло, яке дотикається до даних прямої та кола, а також проходить через задану точку.

Розв’язання. Нехай задано точку , пряму та коло . Як і у попередній задачі, виберемо в ролі кола інверсії коло з центром у точці , радіус якого дорівнює довжині дотичної, проведеної з точки до кола (рис. 11). При інверсії відносно цього кола коло відобразиться на себе, оскільки воно ортогональне до кола інверсії.

Нехай . Тоді пряма перейде у коло , яке проходить через точку , а шукане коло , яке проходить через центр інверсії, перетвориться у пряму , яка не проходить через точку . Оскільки коло має з прямою та колом єдину спільну точку, то пряма , маючи із колами та єдину

спільну точку, буде дотикатися до них. Побудувавши пряму , яка дотикається до кіл та , а потім інверсувавши її відносно кола , отримаємо шукане коло .

Опишемо побудову спільної дотичної до двох кіл та з центрами у точках та , радіуси яких та задовольняють умову (якщо , то побудова дотичної очевидна). Якщо радіуси обох кіл зменшити на число , то коло перетвориться у коло з центром у точці та радіусом , а коло виродиться у точку . При цьому шукана дотична зміститься паралельно у напрямку точки на відстань (рис. 12) та перетвориться у дотичну до кола , яка проведена з точки . Спосіб побудови дотичної прямої ми розглядали у попередній задачі.

Розглянуті міркування дозволяють побудувати так звані зовнішні дотичні. Пропонуємо самостійно відшукати також спосіб побудови внутрішніх дотичних, коли задані кола розташовані у різних півплощинах відносно дотичної.

Якщо точка , то центр шуканого кола буде знаходитися у точці , в якій перетинається перпендикуляр , проведений до прямої у точці , із серединним перпендикуляром до відрізка . Точка знаходиться на перетині прямої із прямою , яка знаходиться на відстані від прямої (рис. 13).

Пропонуємо самостійно знайти частинні випадки, в яких дана задача має нуль, один, два, три або чотири розв’язки, а також переконатися у тому, що іншої кількості розв’язків бути не може.

Зауважимо, що розглянуті вище задачі є частинними випадками відомої задачі Аполлонія, яка полягає у побудові кола, яке дотикається до трьох заданих кіл. Ми розглянули три частинні випадки даної задачі, зокрема вироджені випадки, коли радіус одного із кіл рівний нулю і коло вироджується у точку, або коли радіус одного із кіл рівний і коло вироджується у пряму.

Пропонуємо розглянути розв’язок задачі у загальному випадку, тобто при довільному розташуванні трьох кіл. Для цього можна, наприклад, використати посібники .