Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Відношення площ афінно еквівалентних фігур.






1. Розглянемо відображення , яке кожну точку площини переводить у точку та задається співвідношеннями

, (1)

де матриця вважається не виродженою, тобто . Очевидно, що система рівнянь (1) однозначно розв’язується відносно та , зокрема

. (2)

Тому відображення , яке різні точки площини переводить у різні, буде перетворенням площини. Перетворення площини, яке задається рівностями (1), називається афінним. Очевидною є вимога невиродженості матриці . Справді, у випадку система (1) або не мала б розв’язків відносно , або мала б безліч розв’язків. В обох випадках відображення, задане рівностями (1), не було б перетворенням площини.

Позначимо множину всіх афінних перетворень площини через та виберемо в ній два перетворення та , перше з яких задається рівностями (1), а друге – рівностями

, (3)

де - не вироджена матриця.

Нехай при перетворенні точка перейде у точку , а при перетворенні точка перейде у точку . Перетворення, яке точку переводить у точку назвемо композицією перетворень та . Позначимо операцію композиції символом та знайдемо рівності, якими визначається відображення . Користуючись спочатку рівністю (3), а потім рівністю (1), дістаємо


, (4)

де . Очевидно, що матриця не вироджена, оскільки . Тому рівність (4) визначає деяке перетворення . Із рівності (2) випливає, що разом із кожним перетворенням множина містить також обернене до нього перетворення . Таким чином пара є групою. Цю групу називають групою афінних перетворень. Роль нейтрального елемента в цій групі відіграє тотожне перетворення, яке задається рівностями . Група афінних перетворень є підгрупою групи перетворень площини.

Розглянемо інший спосіб, яким можна задавати афінні перетворення.

Поряд із деякою афінною системою координат , відносно якої розглядається точка та її образ при перетворенні (1) - точка , введемо у розгляд іншу систему координат із початком у точці та базисними векторами та , які є лінійно незалежними, оскільки . Знайдемо координати точки у новій системі координат . Нехай координатами точки є числа , тобто

. (5)

З рівності дістаємо також співвідношення

. (6)

Порівнюючи (5) та (6), дістаємо

.

Одержана рівність та співвідношення (1) обґрунтовують той факт, що . Таким чином, образ точки при перетворенні (1) у новій системі координат має такі самі координати, як і точка . Одержаний факт дозволяє, крім формул (1), задавати афінні перетворення наступним чином.

На площині вибираються дві довільні афінні системи координат (репери) і після цього точці, яка має відносно однієї із систем певні координати ставиться у відповідність точка із такими ж координатами, але уже відносно другого репера. Побудоване таким чином відображення є афінним перетворенням.

Оскільки визначник матриці афінного перетворення відмінний від нуля, то він може бути додатнім або від’ємним у залежності від того, однаково, чи ні орієнтовані базиси та . Нехай на площині зафіксовано репер .

Афінне перетворення, для якого перехід до нового репера здійснюється за допомогою матриці , для якої , називають власним.


Якщо , то афінне перетворення називають невласним.

Оскільки для тотожного перетворення , то воно є власним перетворенням. Очевидно, що множина власних перетворень утворює групу, яка є підгрупою групи афінних перетворень. Множина невласних перетворень групу не утворює хоча б тому, що не містить тотожного перетворення.

 

2. Проаналізуємо основні властивості афінних перетворень. При цьому будемо вважати, що афінне перетворення задається відповідністю реперів та .

1. Вектор при афінному перетворенні переходить у вектор з такими ж координатами.

2. При афінному перетворенні колінеарні вектори відображаються у колінеарні.

Доведення даних тверджень очевидне, оскільки пари відповідних точок та мають однакові координати.

3. При афінному перетворенні пряма переходить у пряму, а паралельні прямі – у паралельні.

Доведення. Нехай задано деяку пряму, яка у системі координат задається рівнянням , . Координати образів кожної точки прямої, які є такими ж, теж задовольнятимуть дану рівність, тому точки фігури, яка є образом даної прямої, утворюють пряму. Дві паралельні прямі, задані рівняннями та перейдуть у прямі, які задаються такими ж рівняннями, тобто у паралельні прямі.

4. При афінному перетворенні відрізок переходить у відрізок, причому точка, яка ділить відрізок, який ми відображаємо, у деякому відношенні, переходить у точку, яка ділить образ відрізка у тому ж відношенні.

Доведення. Нехай точки та , які є кінцями відрізка , при афінному перетворенні переходять у точки та і точка , яка ділить відрізок у відношенні , переходить у точку . Тоді для координат точки виконуються рівності

, , (7)

які будуть виконуватись і для образів взятих точок, оскільки вони мають такі самі координати. При дістаємо, що внутрішні точки відрізка переходять у внутрішні точки відрізка , а із того, що співвідношення (7) виконуються для точок , та випливає, що точка ділить відрізок у такому ж відношенні . Зокрема, при афінному перетворенні середина відрізка переходить у середину відрізка.

5. При афінному перетворенні півплощина перетворюється у півплощину.

Доведення. Нехай півплощина обмежена прямою, яка задається рівнянням . Тоді півплощина задається однією із нерівностей або


. При афінному перетворенні точки півплощини перейдуть у точки нової фігури, координати яких, будучи рівними координатам прообразів, теж задовольнятимуть одну із даних нерівностей. Тому образом півплощини є півплощина.

6. Існує єдине афінне перетворення, яке одну трійку не колінеарних точок (тобто точок, які не лежать на одній прямій) переводить в іншу.

Доведення. Будемо шукати афінне перетворення, яке три довільні не колінеарні точки переводить у три не колінеарні точки . Підставляючи координати точок у рівності (1), дістаємо систему лінійних рівнянь

, ,

де невідомими є коефіцієнти та . Обчислимо визначник , складений із коефіцієнтів біля невідомих.

,

оскільки точки не лежать на одній прямій. Отже, система має єдиний (ненульовий) розв’язок. Умова не колінеарності точок випливає з вимоги невиродженості матриці . Справді, якби точки були колінеарними, то не існувало б оберненого перетворення, оскільки замінюючи точки на точки , ми отримали б аналогічний визначник , який рівний нулю.

Для того, щоб задати перетворення, яке три не колінеарні точки переводить у три не колінеарні, достатньо побудувати дві афінні системи координат та , де , , , . Афінне перетворення, яке визначається цими двома системами координат, переводить точки та відповідно у точки та , є шуканим.


3. Назвемо фігуру афінно еквівалентною фігурі , якщо в групі афінних перетворень знайдеться перетворення, яке фігуру переводить у фігуру .

Відношення афінної еквівалентності має властивості рефлективності, симетричності та транзитивності. Це означає, що:

1) кожна фігура афінно еквівалентна сама собі (вона переводиться в себе тотожнім перетворенням);

2) якщо фігура афінно еквівалентна фігурі то фігура афінно еквівалентна фігурі , оскільки вона переводиться в неї оберненим перетворенням;

3) якщо фігура афінно еквівалентна фігурі , а фігура - фігурі , то фігура афінно еквівалентна фігурі , оскільки вона переводиться в неї перетворенням, яке є композицією двох перетворень, перше з яких переводить у , а друге - у .

Наведемо приклади афінно еквівалентних фігур.

1). Два довільні трикутники афінно еквівалентні.

Доведення даного твердження випливає із властивості 6.

2). Два опуклих чотирикутники будуть афінно еквівалентними, якщо точка перетину ділить їхні діагоналі в одному і тому ж відношенні.

Справді, нехай у чотирикутнику діагоналі і перетинаються у точці , а діагоналі та чотирикутника - у точці (рис. 1), причому та . Нам відомо, що трикутники та афінно еквівалентні. Афінне перетворення, яке переводить репер у репер , відображає точку у точку , оскільки .

Враховуючи те, що точки та за умовою відповідно ділять відрізки та в однаковому відношенні, розглянуте афінне перетворення переводить точку у точку , а, отже, чотирикутник - у чотирикутник .

Дослідимо питання афінної еквівалентності ліній другого порядку.

Теорема. Два довільні еліпси, дві гіперболи та дві довільні параболи афінно еквівалентні.

Доведення. Розглянемо два еліпси, задані рівняннями та . Очевидно, що афінне перетворення, яке задається рівностями


,

переводить перший із них у другий, тому вони афінно еквівалентні. Аналогічно виконується доведення у випадку гіпербол.

Нехай задані дві параболи та . Легко перевірити, що перетворення, визначене рівностями

,

є афінним та переводить першу параболу у другу. Тому дві довільні параболи афінно еквівалентні.

Будь-який уявний еліпс, який задається рівнянням , перетворенням

переводиться в уявне коло , тому два уявні еліпси, будучи афінно еквівалентними уявному колу, є афінно еквівалентними.

Дві прямі, які перетинаються, як ми знаємо, можна задати рівнянням , де . Перетворення, задане рівностями

,

є афінним, оскільки . Воно переводить дані прямі у фігуру, задану рівнянням , тобто у дві прямі та , які перетинаються і є осями координат нової афінної системи. Аналогічно, дві паралельні прямі, які можна задати рівнянням афінним перетворенням

,

переводяться у дві паралельні прямі, рівняння яких легко одержати з рівності . Якщо , то можна взяти перетворення, яке задається системою

.

Дві прямі, які співпадають, можна задати рівнянням . Перетворення

,


переводить їх у дві прямі, які співпадають та задаються рівнянням . При можна взяти перетворення, яке задається рівностями

.

Дві уявні прямі, які перетинаються у дійсній точці, або дві уявні паралельні прямі можна задати відповідно рівняннями та . Перетворення

та

переводять їх відповідно у дві уявні прямі , які перетинаються у дійсній точці, та у дві уявні паралельні прямі .

Таким чином, існує 9 класів афінно еквівалентних ліній другого порядку: еліпси (дійсні та уявні), гіперболи, параболи, дійсні прямі, які перетинаються, паралельні або співпадають та уявні прямі, які перетинаються у дійсній точці або паралельні.

Наведемо приклади задач, які показують, як за допомогою афінних перетворень можна встановити вид лінії другого порядку. Метод, яким ми будемо користуватися, називають методом виділення повних квадратів.

Приклад 1. Встановити вид лінії, заданої рівнянням .

Розв’язання. Перетворимо задане рівняння до виду або . Одержане співвідношення запишемо у виді . Введемо заміну

.

Оскільки , то записані рівності визначають афінне перетворення, яке лінію, задану початковим рівнянням, переводить в афінно еквівалентну лінію, рівняння якої має вид . Очевидно, що дана лінія – гіпербола.

Приклад 2. Яку лінію задає рівняння ?

Розв’язання. Запишемо дане рівняння у виді або та введемо заміну

.

Визначник даного відображення відмінний від нуля, отже, воно є афінним перетворенням. Перетворене рівняння набуває виду і, очевидно, визначає параболу.


4. Дослідимо питання, як при афінних перетвореннях змінюються площі відповідних фігур. Розпочнемо із трикутника. Нехай у прямокутній декартовій системі координат три не колінеарні точки визначають деякий трикутник. Як нам відомо (лекції 5-6, п.2), площу цього трикутника можна обчислити за формулою

.

При афінному перетворенні

вершини трикутника перейдуть у нові точки , координати яких ми продовжуємо розглядати у попередній прямокутній декартовій системі координат та які задовольняють рівності

, .

Обчислюючи площу трикутника , дістаємо

Таким чином, перехід до нової афінної системи змінює площу трикутника у разів. Даний факт також дозволяє стверджувати, що при афінному перетворенні зберігається відношення площ двох довільних трикутників.

Оскільки площі більш складних геометричних фігур можна обчислювати за допомогою граничного переходу через площі вписаних у ці фігури трикутників, то можна стверджувати, що при афінному перетворенні зберігається відношення площ двох довільних фігур.

Розглянемо два приклади застосування даного твердження.

Приклад 3. Обчислити площу паралелограма, утвореного при перетині двох пар паралельних прямих , та , .

Розв’язання. При афінному перетворенні

даний паралелограм перейде у прямокутник, обмежений прямими та (рис. 2), площа якого, очевидно, дорівнює


.

Оскільки визначник матриці даного перетворення дорівнює і , то .

Приклад 3. Обчислити площу еліпса .

Розв’язання. Розглянемо афінне перетворення, задане рівностями .

Воно відображає даний еліпс у одиничне коло (рис. 3). Площа відповідного круга . Оскільки визначник матриці даного перетворення дорівнює і , то .

 

 

 


 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.