Приклади. 1. Розглянемо на площині деяку точку та відкладемо від неї вектори довільного базису

1. Розглянемо на площині деяку точку та відкладемо від неї вектори довільного базису . Тепер для довільної точки площини можна побудувати вектор (так званий радіус-вектор точки ), який розкладається за базисними векторами. Нехай . Числа та у розкладі вектора називають координатами точки (відповідно абсцисою та ординатою) та записують .

Розклад єдиний, оскільки координати вектора відносно зафіксованого базису визначаються однозначно. Тому координати кожної точки відносно вибраної системи координат теж визначаються єдиним способом.

Трійку елементів називають загальною афінною системою координат на площині. Точку називають початком координат цієї системи. Прямі, які проходять через початок координат паралельно до векторів та , називають координатними осями – осями а бсцис та ординат відповідно. На даних осях (їх часто позначають та ) за допомогою стрілки показують додатний напрям, який відповідає напрямку відповідного базисного вектора, а також відмічають одиницями кінці базисних векторів. Таким чином, довжини базисних векторів стають одиницями вимірювання на кожній із осей (рис.1). Після позначень масштабних одиниць на координатних осях, базисні вектори, як правило, не зображають.

Аналогічно, як і у випадку площини, вводиться поняття загальної афінної системи координат у тримірному просторі. Для цього довільно вибирають

точку (початок координат) та через неї проводять три прямі (координатні осі), які паралельні векторам деякого базису . На даних осях (їх часто позначають , та називають осями абсцис, ординат та аплікат) стрілками вказують додатні напрямки, які відповідають напрямкам відповідних базисних векторів, а також відмічають одиницями кінці базисних векторів. Одержуємо загальну афінну систему координат у тримірному просторі (рис.2). Тепер для довільної точки простору, побудувавши її радіус - вектор та розклавши його за базисними векторами, дістаємо (зауважимо, що такий розклад єдиний).

Числа та називають координатами точки (абсцисою, ординатою та аплікатою відповідно) та записують .

2. Якщо базис ортонормований, то систему координат, яка визначається точкою (початком координат) та базисом називають прямокутною декартовою системою координат у просторі. Нехай у такій системі задані дві точки та . Знайдемо співвідношення, яке виражає відстань між цими точками. Оскільки координати точок співпадають з координатами їхніх радіус-векторів, то , , тому

.

Знайшовши довжину вектора , яка дорівнює шуканій довжині відрізка , дістаємо формулу відстані між двома точками:

.

У випадку площини, коли система координат визначається точкою (початком координат) та базисом , її називають прямокутною декартовою системою координат на площині. Оскільки у цьому випадку точки та вектори визначаються двома координатами: , , то формула відстані між двома точками набуває виду

.

3. Нехай на прямій вибрана точка , яка ділить відрізок у деякому відомому відношенні . Розглянемо задачу, як, знаючи координати заданих точок та число , обчислити координати точки .

Означення. Кажуть, що точка ділить відрізок у відношенні , якщо виконується рівність

. (1)

Зауважимо, що точка не обов’язково повинна належати відрізку . Вона може лежати на прямій і поза цим відрізком. Очевидно, що якщо точка належить відрізку , то і число > 0. Якщо точка лежить поза відрізком , то , тому < 0. Вірні також і обернені твердження. Оскільки , то при і точка лежить на прямій поза точкою . При , тому точка лежить на прямій поза точкою . При точка є серединою відрізка . При точки та співпадають. Випадок неможливий, оскільки тоді з рівності (1) випливає, що кінці відрізка співпадають.

Нехай задані точки та а також відношення , в якому точка ділить відрізок . Вважатимемо, що точка є початком координат (рис. 3). Тоді вектори , та мають такі ж координати, як точки , тому, скориставшись рівністю (1), дістаємо , звідки

.

Прирівнюючи відповідні координати векторів в обох частинах одержаної рівності, дістаємо . Остаточно,

, , . (2)

Одержані співвідношення називають формулами поділу відрізка у даному відношенні. Зауважимо, що при точка є серединою відрізка . Тому рівності

, ,

задають координати середини відрізка . Відмітимо також, що рівності (2) стосуються довільної афінної системи координат, а також, що у двомірному

випадку (тобто у випадку, коли точки задаються двома координатами) в одержаних рівностях не розглядають вирази, які містять третю змінну .

Як приклад, знайдемо координати точки перетину медіан трикутника, вершини якого розташовані у точках . Нехай – середина відрізка , - шукана точка. Оскільки , , то, скориставшись рівностями (2) при (у такому відношенні, рахуючи від вершини трикутника, діляться медіани точкою їх перетину), дістаємо

, , ,

тобто координати центра маси трикутника є середніми арифметичними відповідних координат вершин трикутника.

4. Розглянемо довільний трикутник та візьмемо на його сторонах та точки відповідно.

Нехай .

Вірне наступне твердження.

Теорема (теорема Чеви). Відрізки та перетинаються в одній точці тоді і тільки тоді, коли виконується рівність .

Доведення. Введемо в розгляд афінну систему координат, вибравши за початок координат точку А та базис (рис. 4). У цій системі точки матимуть наступні координати: , , . Нехай відрізки та перетинаються у точці . Тоді із колінеарності векторів та , а також векторів та дістаємо систему

,

звідки . Якщо відрізок проходить через точку , то із колінеарності векторів та , дістаємо , звідки .

Із одержаних співвідношень також випливає, що якщо , то вектори та колінеарні, тобто, що відрізок проходить через точку перетину двох інших відрізків.

Теорема доведена.

5. Наведемо приклади розв’язання деяких задач.

Задача 1. Задано прямокутник . Довести, що для довільної точки виконується рівність .

Доведення. Введемо прямокутну систему координат наступним чином: точку виберемо початком координат, пряму - віссю , а пряму - віссю . Нехай . Тепер кожна точка матиме свої координати: , . Скориставшись формулою відстані між двома точками, дістаємо

, ,

що і доводить потрібну рівність.

Задача 2. У трикутній піраміді вершини сполучено з центрами протилежних граней. Довести, що утворені відрізки перетинаються в одній точці та діляться нею у відношенні 3: 1, рахуючи від вершини.

Розв’язання. По-перше, зауважимо, що дану задачу ми уже розглядали в лекції 2 та розв’язали її векторним методом. Тепер ми використаємо координатний метод. Введемо у розгляд загальну афінну систему координат, вибравши точку початком координат та базис . Тоді вершини піраміди матимуть наступні координати: . Нехай точки та - точки перетину медіан трикутників та відповідно. Координати точок та знайдемо, як середні арифметичні відповідних координат вершин трикутників: . Нехай точки ділять відрізки та у відношенні 3: 1, рахуючи від точок та відповідно. Скориставшись формулами поділу відрізка у даному відношенні при , дістаємо , . Оскільки точки та співпадають, то твердження доведено.