Приклади розв’язання задач. 1. Із курсу елементарної фізики відомо, що деякі фізичні величини, зокрема такі, як довжина, площа, об’єм

1. Із курсу елементарної фізики відомо, що деякі фізичні величини, зокрема такі, як довжина, площа, об’єм, температура, маса, густина, відстань виражаються певним числом, яке характеризує відношення цієї величини до відповідної одиниці вимірювання. Такі величини називають скалярними. Для оцінки ряду інших величин (сили, переміщення, швидкості, прискорення та ін.) одного числа недостатньо. Крім кількісної оцінки вони характеризуються також направленістю у просторі. Такі величини називають векторними. Абстрагуючись від конкретних фізичних величин, введемо математичне поняття геометричного вектора або просто вектора.

Означення 1.Вектором називається напрямлений відрізок.

Вектор визначається впорядкованою парою точок. Перша з них називається початком, друга – кінцем вектора. Якщо початком вектора є точка , а кінцем точка , то його позначають символом . Іноді використовують позначення у вигляді малої букви латинського алфавіту (наприклад, ). На рисунку вектор зображають відрізком із стрілкою в кінці вектора.

Вектор, початок та кінець якого співпадають, називається нульовим і позначається грецькою буквою (тета).

Основними характеристиками, які визначають вектор, є його довжина та напрям.

Довжиною (модулем) вектора називають довжину відрізка, яким він зображається. Позначають довжину вектора символом Наприклад, . Якщо довжина вектора дорівнює одиниці, то його називають одиничним або ортом. Очевидно, що .

Під напрямом вектора розуміють напрям променя . Нульовому вектору присвоюють довільний напрям.

Будемо говорити, що деякий вектор паралельний до прямої (площини), якщо до цієї прямої (площини) паралельний відрізок, яким визначається даний вектор.

Означення 2. Два вектори називають колінеарними, якщо вони паралельні деякій прямій.

Означення 3. Три вектори називають компланарними, якщо вони паралельні деякій площині.

Означення 4. Два колінеарних вектори називають однаково (протилежно) напрямленими, якщо вони лежать в одній півплощині (у різних півплощинах) відносно прямої, яка сполучає їхні початки.

Означенням 4 не можна скористатися, якщо два вектори лежать на одній прямій. Тому домовимося, що якщо два вектори та лежать на одній прямій, то вони будуть однаково напрямленими у тому випадку, коли всі точки одного із променів або належать іншому. У випадку, коли жоден із променів та цілком не належить іншому, вектори та називатимемо протилежно напрямленими.

Однаково напрямлені вектори та позначають символом . Протилежно напрямлені вектори та позначають .

На рисунку 1 зображено трикутник, у якому відрізок є середньою лінією. Вектори та є колінеарними. Вони протилежно напрямлені. На рисунку 2 зображено куб. Вектори та компланарні. Трійка векторів та є прикладом трьох не компланарних векторів.

Два вектори, які мають однакові довжини та протилежні напрямки, називають протилежними.

Протилежним до вектора є вектор . Вектор, протилежний до , позначають символом . Доцільність саме такого позначення стане зрозумілою після введення у пункті 3 означення добутку вектора на число. Протилежним до вектора є, наприклад, вектор (рис. 1).

Означення 5. Два вектори називають рівними, якщо вони однаково напрямлені та мають рівні довжини.

Умову рівності векторів та записують так: . Від будь-якої точки площини чи простору можна відкласти вектор, рівний даному і причому тільки один. На рисунку 3 зображено ромб , на якому зображені рівні вектори = та протилежні вектори і . Вектори та , незважаючи на

рівність довжин відрізків та , не рівні, оскільки вони мають різні напрямки.

2. Введемо означення лінійних операцій над векторами. Під лінійними операціями над векторами розуміють дії додавання та віднімання векторів, а також множення їх на довільне дійсне число.

Означення 6. Сумою векторів та називають вектор, проведений з початку вектора до кінця вектора при умові, що кінець вектора співпадає з початком вектора (рис. 4).

Суму векторів та позначають символом . Для довільних трьох точок та , згідно із означенням суми векторів, виконується рівність .

Означений таким чином спосіб додавання векторів називають “правилом трикутника”.

Якщо вектори та відкласти із спільного початку і на одержаних відрізках, як на сторонах, побудувати паралелограм, то вектор, який співпадає з діагоналлю та має початок у спільному початку даних векторів, буде їхньою сумою (рис. 5). Такий спосіб знаходження суми векторів називається “правилом паралелограма” Очевидно, що додавання векторів за “правилом трикутника” та “правилом паралелограма” дають у результаті один і той же вектор.

Послідовне додавання векторів …, у результаті дає вектор . В математиці такі суми записують за допомогою великої грецької букви (сигма). Зокрема, попередню рівність можна записати у виді . Якщо , то це означає, що точки та співпадають, тобто многокутник замкнутий.

Очевидно, що для довільного трикутника виконується рівність . Навпаки, якщо дано три вектори та , серед яких є хоча б два не колінеарних, то із них можна утворити трикутник у випадках, коли виконується рівність , або коли один із векторів є сумою двох інших.

Виходячи із нерівності трикутника, можна стверджувати, що для довільних двох векторів виконується нерівність . Знак рівності виконується для однаково напрямлених векторів.

Зупинимося на деяких властивостях операції додавання векторів. Зокрема,

1) (комутативність додавання або переставна властивість);

2) (асоціативність додавання або сполучна властивість);

3) ;

4) .

Доведення властивості 1) випливає із рисунка 5.

Для доведення властивості 2) покладемо . Тоді

, , , , тобто .

Доведення властивостей 3) та 4) очевидне.

Означення 7. Різницею векторів та називають вектор , який є розв’язком рівняння .

Такий розв’язок завжди існує та єдиний. Справді, розглянемо вектор . Підставляючи його у рівняння та використовуючи властивості 2), 4) і 3), встановлюємо, що він є розв’язком рівняння. Нехай деякий інший вектор є розв’язком рівняння, тобто виконується рівність . Тоді , звідки, додавши до обох частин рівності вектор , отримуємо .

Різницю векторів та записують у виді . Запис , згідно з означенням різниці векторів, означає, що . Звідси випливає спосіб побудови вектора , який є різницею векторів та , а саме: вектори та відкладають із спільного початку, а потім, сполучивши кінці векторів , та вибравши напрям шуканого вектора від кінця до кінця вектора , одержують вектор (рис. 6). Очевидно, що різницю векторів та можна одержати, додаючи вектори та (рис. 7), тобто для різниці векторів виконується рівність .

3. Нехай заданий деякий вектор та дійсне число .

Означення 8. Добутком вектора на число називають такий вектор , який задовольняє наступним умовам:

1) довжина цього вектора ,

2) , якщо та , якщо .

При згідно з пунктом 1) означення , тому результатом множення довільного вектора на 0 є нульовий вектор . Добуток вектора на число записують у виді .

Множення вектора на число має ряд властивостей. Виділимо серед них наступні:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) (асоціативність множення відносно числових множників та );

6) (дистрибутивність множення відносно числового множника);

7) (дистрибутивність множення відносно векторного множника).

Доведення властивостей 1) – 4) очевидне.

Для доведення властивості 5) потрібно розглянути наступні випадки: а) ; б) ; в) ; г) ; д) одне з чисел l i t або обидва ці числа дорівнюють нулю. У випадку а), оскільки , то . Враховуючи те, що , дістаємо, що . Отже, . Очевидно, що , тобто вектори та однаково напрямлені. Рівність їхніх довжин випливає із рівності . Згідно з означенням рівності векторів властивість 5) у випадку а) доведена. Випадки б), в) та г) розглядаються аналогічно. У випадку д) рівність 5) виконується, оскільки обидві частини рівності є нульовими векторами.

Властивість 6) випливає із подібності трикутників та (див. рис. 8 при та рис. 9 при ). Доведення властивості 6) при очевидне.

Для доведення властивості 7) потрібно розглянути випадки, коли числа та l одного знаку (обидва додатні або від’ємні) або різних знаків. Нехай та . Тоді і . Вектори та протилежно напрямлені, а також .

Тому

.

Вектор має напрям вектора , тобто спів напрямлений з вектором . Отже, в обох частинах рівності 7) маємо однаково напрямлені вектори однакової довжини, тобто ці вектори рівні.

Аналогічно розглядається випадок та випадок, коли . Якщо одне із чисел t або l рівне нулю, або вони обидва дорівнюють нулю, то рівність 7)очевидна.

Зауважимо, що якщо , то вектор одиничний і однаково напрямлений із вектором . Справді, .

Якщо задані два ненульові вектори та , то вектори та матимуть однакові довжини . Вектор + задає напрям бісектриси кута, утвореного векторами та , оскільки він матиме напрям діагоналі паралелограма, побудованого на векторах і , який є ромбом.

4. Наведемо приклади розв’язання окремих задач.

Задача 1. Довести, що точка є центром ваги трикутника (точкою перетину медіан) тоді і тільки тоді, коли виконується рівність .

Доведення. Нехай точка є точкою перетину медіан та (рис. 10).

Тоді ,

де – діагональ паралелограма . Оскільки точка – середина відрізків та , то . За відомою властивістю медіан трикутника , тому . Отже, .

Навпаки, нехай виконується рівність , тобто . Тоді , де – середина відрізка . З рівності випливає, що точки та лежать на одній прямій, а також, що – медіана трикутника . Оскільки , то точка є точкою перетину медіан.

Задача 2. У п’ятикутнику ABCDE точки K, L, M, N – середини відповідно сторін AB, BC, CD та DE, а точки R і S – середини відрізків KM та LN. Довести, що та (рис. 11).

Доведення. Введемо позначення:

Оскільки

та

,

то

.

Із одержаної векторної рівності випливає, що та .

Задача 3. В опуклому чотирикутнику точки та – відповідно середини сторін і . Довести, що якщо , то .

Доведення. Очевидно, що та . Додавши одержані рівності, дістаємо , звідки . Але за умовою . Рівність можлива тільки тоді, коли вектори та однаково напрямлені, тобто, коли відрізки та паралельні. Отже, .

Задача 4. Що можна сказати про два ненульові вектори та , для яких виконується одна із рівностей: 1) , 2) , 3) ?

Розв’язання. 1). Вектори та співпадають із діагоналями паралелограма, побудованого на векторах та . Оскільки, згідно із умовою задачі, довжини цих діагоналей рівні, то паралелограм є прямокутником. Отже, вектори та перпендикулярні.

2)-3). Із нерівності трикутника випливає, що вектори та колінеарні. Рівність 2) можлива тільки у випадку, коли дані вектори однаково напрямлені.

Рівність 3) виконується при умові, коли вектори напрямлені протилежно, причому довжина вектора більша або дорівнює довжині вектора .