Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Визначає деяку пряму.






Нехай - фіксований та - довільний розв’язки рівняння (1). Віднімаючи від рівняння (1) рівність , дістаємо . Одержану рівність можна записати у виді

, (2)

(тут – довільне дійсне число). Введемо в розгляд точки , та вектор . Тоді співвідношення (2) можна замінити векторною рівністю . Оскільки для кожної точки вектор залишається колінеарним сталому вектору , то всі такі точки належать прямій, яка проходить через точку та паралельна до вектора .

 

2. Розглянемо основні способи задання прямої на площині.

Нехай деяка пряма задана на координатній площині точкою та паралельним до неї вектором (рис. 1). Такий вектор називають напрямним вектором прямої. Тоді для довільної точки на прямій із колінеарності векторів та випливає, що , або у координатній формі , , звідки при та отримуємо співвідношення

(3)

Очевидно, що одержане рівняння є рівнянням першого степеня. Його називають канонічним рівнянням прямої.

Якщо у попередньому випадку (), то для всіх точок прямої виконується рівність (). Одержані співвідношення і будуть задавати рівняння прямої.

Нехай пряма задана двома точками та .Для того, щоб скласти її рівняння, скористаємось співвідношенням (3), замінивши точку точкою , та вибравши у ролі вектора вектор . У цьому випадку отримуємо рівність

. (4)

Одержане рівняння називають рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки.

Прирівнявши відношення у рівності (3) до параметра , дістаємо

, ,

звідки

. (5)

Дані рівності називають параметричними рівняннями прямої. Якщо напрямний вектор - одиничний, тобто , то із (5) дістанемо

,

У цьому випадку модуль параметра має цілком конкретний геометричний зміст - це відстань між точками та на заданій прямій.

Нехай пряма d відтинає на координатних осях та відрізки з довжинами та (рис. 2). Тоді на прямій будуть відомі дві точки та і ми можемо скористатись рівністю (2). Дістаємо , або . Розділивши дане рівняння на , дістанемо

. (6)

Одержане співвідношення називають рівнянням прямої у відрізках на осях.

Нехай система координат прямокутна декартова, а пряма d задається в ній точкою та перпендикулярним до неї вектором (рис. 3). Такий вектор називають вектором нормалі до прямої або нормальним вектором. Точка належить прямій d тоді і тільки тоді, коли вектори та будуть перпендикулярні, тобто тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток рівний нулю. Із рівності дістаємо


(7)

Одержане співвідношення називають рівнянням прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до даного напрямку.

Нехай пряма утворює з додатнім напрямком осі Ох кут (система координат вважається прямокутною декартовою) та проходить через точку (рис. 4). Знайдемо напрямний вектор до прямої . Очевидно що за допомогою кута його координати можна виразити рівностями . Скориставшись рівнянням (3), дістанемо

,

звідки

, (8)

або

, ()

де .

Рівняння (8) та () називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.

Кутовий коефіцієнт визначає кут нахилу прямої до осі . Очевидно, що рівняння прямих, які перпендикулярні до осі , у вигляді (8) подати не можна.

 

 

Розглянуті нами вище варіанти різних способів задання прямої в усіх випадках проводять до рівняння прямої у виді (1). Тому рівняння називають загальним рівнянням прямої.

В якому виді записувати рівняння прямої залежить від задачі, яка розв’язується. Наприклад, якщо трикутник заданий координатами своїх вершин, то рівняння медіан легко отримати, користуючись рівнянням прямої, що проходить через дві точки. Для того, щоб скласти рівняння висот, доцільно використовувати рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно до заданого вектора. У ролі останнього досить взяти вектор,


який сполучає дві інші вершини трикутника. При написанні рівняння бісектриси трикутника можна скористатися її напрямним вектором , або де - вектори, які побудовані на сторонах трикутника і виходять із спільної вершини. В обох випадках вектор , як вектор суми двох рівних за довжиною векторів, співпадає з діагоналлю ромба, яка, як відомо, є бісектрисою його кута.

Водночас зауважимо, що у виді (3) не записують рівняння прямих, якщо одна із координат напрямного вектора рівна 0. У виді (4) не записують рівняння прямих, що проходять через дві точки з рівними абсцисами або ординатами. У вигляді (8) не можна записати рівняння прямих, які перпендикулярні до осі .

3. Розглянемо частинні випадки рівняння (1), коли деякі із коефіцієнтів рівняння рівні нулю. Отже, нехай рівняння прямої задано у виді .

При рівняння прямої запишеться у вигляді . Очевидно, що пряма проходить через початок координат.

Нехай . Рівняння прямої запишеться у вигляді і, оскільки (рівняння прямої є рівнянням першого степеня, тому та одночасно не можуть дорівнювати нулю), то У цьому випадку для всіх точок прямої ординати рівні , а абсциси довільні, тому пряма проходить через точку на осі паралельно до осі . Якщо , то пряма проходить через початок координат і паралельна до осі , тобто рівняння є рівнянням осі Ох.

Аналогічно, при рівняння прямої запишеться у виді або і визначає пряму, яка проходить через точку на осі та паралельну до осі . При дістанемо рівняння , яке є рівнянням осі .

Зауважимо, що у загальному рівнянні прямої коефіцієнти біля змінних х та у мають конкретний геометричний зміст: вони визначають координати вектора, який паралельний до прямої – це вектор , а у випадку прямокутної декартової системи координат вектор перпендикулярний до прямої.

 

4. Наведемо приклади задач, які можна розв’язувати за допомогою отриманих вище співвідношень.

Задача 1. Довести, що медіани трикутника перетинаються в одній точці та діляться нею у відношенні , рахуючи від вершини.


Розв’язання. Нехай задано трикутник ОВС. Виберемо систему координат у вигляді репера (рис.5). Тоді точки , та будуть серединами сторін та відповідно. Складемо рівняння медіан та , користуючись рівнянням прямої у відрізках на осях. Дістаємо або , або . Нехай прямі перетинаються у точці . Її координати ми знайдемо із системи

,

розв’язуючи яку, дістаємо . Рівняння медіани можна шукати у виді , оскільки пряма проходить через початок координат і не співпадає з віссю . Підставляючи координати точки , дістаємо , тобто . Отже, рівняння медіани має вигляд . Підставляючи знайдені вище координати точки в одержане рівняння, переконуємось у тому, що точка належить медіані , тобто медіани перетинаються в одній точці. Порівнюючи координати векторів та , бачимо, що . Аналогічно встановлюємо, що , . Задача розв’язана.

Зауважимо, що в лекції 4 ми наводили векторний спосіб розв’язання даної задачі. Те, що ми ще раз повернулися до неї, зроблено тільки з метою показати різноманітність методів аналітичної геометрії.

Задача 2. Знайти ортоцентр (точку перетину висот) трикутника з вершинами у точках , , та .

Розв’язання. Рівняння висоти складемо, знаючи вершину А та знайшовши вектор , який перпендикулярний до висоти . Скориставшись співвідношенням (7), дістаємо або Аналогічно, знайшовши вектор , дістаємо рівняння висоти : або . Ортоцентр (точку ) знаходимо, розв’язавши систему рівнянь

Відповідь. .


Задача 3. Знайти сторону квадрата, вписаного у прямокутний трикутник з катетами , знаючи, що дві сторони квадрата належать катетам трикутника.

Розв’язання. Нехай сторона квадрата рівна . Введемо в розгляд систему координат, вибравши початок координат у вершині прямого кута та спрямувавши координатні осі вздовж катетів трикутника. Скориставшись рівнянням прямої у відрізках на осях, запишемо рівняння гіпотенузи у виді Оскільки вершина квадрата, яка належить гіпотенузі, має координати то виконується рівність звідки .

Відповідь. .

Задача 4. Довести, що середини паралельних основ трапеції, точка перетину її діагоналей та точка, в якій перетинаються прямі, яким належать бічні сторони, перетинаються в одній точці.

Доведення. Нехай - задана трапеція, точки та -середини основ та , -точка перетину діагоналей, - точка перетину прямих та , яким належать бічні сторони (рис. 6). Введемо в розгляд систему координат . Очевидні координати точок: , де число дорівнює відношенню довжин меншої та більшої основ. Покажемо, що точки та належать прямій . Рівняння прямої знайдемо, користуючись рівнянням прямої, яка проходить через дві задані точки. Дістаємо , або .

Для відшукання точки складемо рівняння діагоналей. Рівняння діагоналі запишеться у виді або (ми використали рівняння прямої у відрізках на осях), а рівняння діагоналі шукатимемо у виді . Підставляючи координати точки , отримуємо , звідки . Із системи рівнянь знаходимо . Знайдені координати точки задовольняють рівняння прямої .

Для відшукання точки складемо рівняння прямої : . Підставляючи в одержане рівняння значення , дістаємо . Залишається переконатися, що знайдені координати точки теж задовольняють рівняння прямої .

Цим самим розв’язання задачі завершується.


Із шкільного курсу геометрії відома задача, як користуючись циркулем та лінійкою поділити пополам заданий відрізок. Доведена нами теорема дозволяє знайти алгоритм поділу відрізка пополам одною двосторонньою лінійкою (за допомогою двосторонньої лінійки можна проводити довільні відрізки, прямі, а також дві паралельні прямі із сталою відстанню між ними, яка дорівнює ширині лінійки). Наведемо розв’язок цієї задачі.

Нехай задано відрізок . Проведемо за допомогою двосторонньої лінійки паралельну до нього пряму і виберемо на ній відрізок такий, що (рис. 6). Нехай діагоналі трапеції перетинаються у точці , а прямі та - у точці . Пряма проходить через середину відрізка .

 


 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.