Приклади розв’язання задач. 1. Нехай задані вектори та дійсні числа .

1. Нехай задані вектори та дійсні числа .

Означення 1. Вектор називається лінійною комбінацією векторів .

У цьому випадку говорять також, що вектор лінійно виражається через вектори .

Означення 2. Якщо рівність

Теорема 1. Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли один із них є лінійною комбінацією інших.

Доведення. Нехай вектори лінійно залежні. Тоді у рівності можна підібрати коефіцієнти так, щоб хоч один із них був відмінний від нуля. Нехай . Тоді , тобто вектор є лінійною комбінацією векторів .

Навпаки, якщо один із векторів є лінійною комбінацією інших, наприклад,

,

то у рівності коефіцієнт біля відмінний від нуля, тому, згідно з означенням, вектори лінійно залежні.

Користуючись даною теоремою, можна стверджувати, наприклад, що вектори , для яких виконується рівність , лінійно залежні. В той же час, якщо два вектори не колінеарні, то вектор напрямлений по діагоналі паралелограма, побудованого на векторах та , буде

дорівнювати нулю тільки тоді, коли . У цьому випадку вектори та лінійно незалежні.

Теорема 2. Якщо серед векторів є нульовий вектор, то ці вектори лінійно залежні.

Доведення випливає зрівності (1), в якій достатньо поставити біля нульового вектора відмінний від нуля коефіцієнт, а всі інші коефіцієнти взяти рівними нулю.

Теорема 3. Якщо деяка система векторів містить лінійно залежну підсистему, то ці вектори лінійно залежні.

Для доведення достатньо для підсистеми лінійно залежних векторів виписати рівність (1) з деякими ненульовими коефіцієнтами та доповнити її доданками, одержаними із решти векторів, які взяті з нульовими коефіцієнтами.

Теорема 4. Два вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Доведення. Нехай вектори та лінійно залежні та . Оскільки при , а при , то та колінеарні.

Навпаки, нехай дані вектори колінеарні. Розглянемо вектор , де знак «+» вибираємо, якщо і знак «-» - у випадку, коли . Очевидно, що . Крім цього, при дістаємо , тобто . Якщо , то , отже, . В обох випадках вектори та однаково напрямлені і, оскільки їхні довжини рівні, то . Отже, , або , де . Таким чином, згідно із теоремою 1, вектори та лінійно залежні. Теорема доведена.

Теорема 5. Три вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.

Доведення. Нехай вектори лінійно залежні. Виразимо один із них через інші. Нехай . Позначимо . Точки лежать в одній площині. Цій площині належить також точка , для якої . Отже, вектори компланарні.

Навпаки, нехай вектори компланарні. Вважатимемо, що серед них немає нульових та колінеарних векторів, оскільки у цьому тривіальному випадку вони будуть лінійно залежними (теореми 2 та 3). Від довільної точки площини, яка паралельна даним векторам, відкладемо вектори та проведемо через точку пряму, паралельну до (рис. 1). Нехай дана пряма перетинає пряму в точці . Тоді .

Вектори та колінеарні, тому , де - деяке число. Аналогічно, , тому . Згідно з теоремою 1 вектори будуть лінійно залежними. Теорема доведена.

Теорема 6. Будь-які чотири геометричні вектори лінійно залежні.

Доведення. Розглянемо чотири вектори . Нехай вектори не компланарні. У випадку компланарності ці три вектори будуть лінійно залежними (теорема 5), тому і всі чотири вектори будуть лінійно залежними (теорема 3). Відкладемо дані вектори від спільної точки . Нехай . Проведемо через точку пряму, паралельну до прямої та нехай вона пряма перетне площину у деякій точці (рис. 2). Тоді . Існують числа та такі, що (теорема 5), (теорема 4). Тому . Згідно з теоремою 1 вектори лінійно залежні. Теорема доведена.

2. Розглянемо деяку множину векторів та її підмножину .

Означення 3. Упорядковану множину векторів називають базисом множини , якщо дані вектори лінійно незалежні, а також будь-який вектор множини лінійно виражається через вектори множини .

Розглянемо в ролі множини множину векторів, які паралельні деякій прямій. Довільний ненульовий вектор цієї множини утворює базис, оскільки будь-який вектор із лінійно виражається через вибраний вектор (теорема 4). Назвемо у цьому випадку множину векторів одновимірнимвекторним простором колінеарних векторів та позначимо .

Розглянемо множину векторів, які паралельні деякій площині. Базис цієї множини утворюють два довільні не колінеарні вектори. Справді, дані вектори лінійно незалежні (теорема 4), а будь-який третій вектор даної множини через них виражається (теорема 5). Дану множину векторів назвемо двовимірним векторним простором компланарних векторів та позначатимемо дальше .

Якщо в ролі множини взяти множину всіх геометричних векторів, то базис в ній утворять три довільні не компланарні вектори. Справді, ці вектори лінійно незалежні (теорема 5), а будь-який четвертий вектор через них лінійно виражається (теорема 6). Простір всіх геометричних векторів будемо позначати .

3. Розглянемо простір векторів та довільний його базис . Довільний вектор можна розкласти за цим базисом, тобто представити у вигляді

. (2)

Насамперед зауважимо, що таке представлення єдине. Справді, припустимо, що розклад вектора можливий із іншими коефіцієнтами, тобто нехай . Віднімаючи від даної рівності рівність (2), дістаємо . Оскільки вектори лінійно незалежні, то одержана рівність можлива тільки при нульових коефіцієнтах. Тому .

Означення 4. Коефіцієнти біля базисних векторів у рівності (1) називають координатами вектора відносно базису .

Координати вектора записують у виді або .

У випадку векторного простору та деякого його базису для довільного вектора його координати визначаються, як коефіцієнти біля базисних векторів у рівності , оскільки таке представлення теж єдине Записують або .

Два вектори, задані своїми координатами, рівні тоді і тільки тоді, коли їхні відповідні координати рівні.

Справді, у випадку векторного простору , з рівностей = або , випливає, що , оскільки вектори та лінійно незалежні

Аналогічні міркування реалізовуються у випадку простору .

Дамо відповідь на питання, як виконувати лінійні операції над векторами, що задані своїми координатами. Нехай задані два вектори та . Тоді

,

тобто

.

Аналогічно доводяться рівності

та

,

де - довільний числовий множник.

Аналогічно, як і у просторі , у просторі додавання та віднімання векторів, а також множення векторів на числа здійснюється виконанням відповідних операцій над координатами векторів.

Теорема 7. Два вектори, задані своїми координатами, колінеарні тоді і тільки тоді, коли їхні координати пропорційні.

Доведення. Нехай задані два колінеарні вектори та . Тоді вони лінійно залежні та існує число таке, що виконується рівність . Вона рівносильна координатним рівностям , , . Якщо , , , то із попередніх рівностей випливає, що , тобто координати векторів пропорційні. Якщо деякі з координат одного з векторів рівні нулю, то відповідні координати у другого колінеарного до нього вектора теж рівні нулю.

Навпаки, якщо виконуються рівності , то, прирівнявши дані відношення до , дістаємо рівність , яка означає колінеарність векторів та .

4. Розглядаючи базис простору , ми накладали на базисні вектори тільки умови упорядкованості та лінійної незалежності. У деяких прикладних задачах обчислення суттєво спрощуються, якщо базисні вектори одиничні та взаємно перпендикулярні.

Означення 5. Базис називають прямокутним декартовим або ортонормованим, якщо вектори базису одиничні та взаємно перпендикулярні.

Щоб відрізняти ортонормовані базиси від інших використовують спеціальні позначення базисних векторів: . Отже, згідно з означенням, базис - прямокутний декартовий, якщо та .

У просторі ортонормованим буде базис .

Нехай в ортонормованому базисі задано вектор та нехай . Відкладемо від деякої точки вектори , , (рис. 3). Очевидно, що вектор співпадає з діагоналлю прямокутного паралелепіпеда, побудованого на векторах , як на сторонах. Оскільки довжини сторін паралелепіпеда дорівнюють

,

то за відомою властивістю діагоналі прямокутного паралелепіпеда дістаємо або

. (3)

Одержана формула дозволяє обчислювати довжину вектора, знаючи його координати. Відмітимо, що коли одна або дві координати вектора рівні нулю, то при обчисленні його довжини замість довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда доводиться шукати довжину діагоналі прямокутника або довжину вектора, який колінеарний до одного із базисних векторів. В обох випадках дістаємо співвідношення, які є частинним випадком формули (3).

У просторі з вибраним у ньому ортонормованим базисом довжину вектора обчислюють за формулою

.

5. Наведемо приклади розв’язання задач.

Задача 1. У трикутнику на сторонах і вибрано точки та так, що , а також проведено відрізки і , які перетинаються у точці . У якому відношенні точка ділить дані відрізки?

Розв’язання. Нехай , (рис. 4). Оскільки , то . Виразимо всі вектори в одержаній векторній рівності через та .

, .

Отже,

.

Оскільки вектори та лінійно незалежні, то, прирівнюючи коефіцієнти біля цих векторів в обох частинах рівності, дістаємо систему рівнянь

,

розв’язуючи яку, знаходимо . Отже, .

Відповідь. .

Задача 2. Задано правильний шестикутник . Нехай . Знайти координати векторів та у базисі .

Розв’язання. Нехай - центр кола, описаного навколо заданого шестикутника (рис. 5). Очевидно, що

,

а також, що . Тому

,

.

Відповідь. .

Задача 3. Довести, що відрізки, які сполучають вершини трикутної піраміди з центрами протилежних граней, перетинаються в одній точці та діляться нею у відношенні 3: 1, рахуючи від вершини.

Розв’язання. Нехай - задана піраміда і , точки та - точки перетину медіан відповідно трикутників і , точки належать відрізкам та , причому . Покажемо, що у базисі координати векторів та співпадають. Маємо

, де - середина відрізка . Отже, у базисі вектор має координати . Дальше знаходимо

,

тобто . Таким чином, , а це означає, що точки та співпадають.

Задача 4. У трапеції з основами відомо, що . Обчислити координати вектора у базисі , якщо - точка перетину діагоналей трапеції, (рис. 6).

Розв’язання. Із трикутника знаходимо

.

Оскільки трикутники та подібні, то . Звідси . Тому

.

Коефіцієнти біля векторів та дозволяють отримати шукану відповідь.

Відповідь. .