Минск 2008

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Белорусский государственный университет

информатики и радиоэлектроники»

Кафедра «Вычислительные методы и программирование»

Соловьев В.П., Кривоносова Т.М.

ОСНОВЫ АЛГОРИТМИЗАЦИИ И ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Конспект лекций

ЧАСТЬ 2

ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

(материал не редактирован)

Для студентов всех специальностей и форм обучения БГУИР

Минск 2008

СОДЕРЖАНИЕ

1. Этапы решения технических задач на ЭВМ.. 5

2. Методы реализации математических моделей. 6

Раздел 1. Элементы теории погрешностей. 7

1.1. Постановка задачи. 7

1.2. Источники погрешностей. 7

1.3. Приближенные числа и оценка их погрешностей. 8

1.4. Правила записи приближенных чисел. 10

1.5. Задачи теории погрешностей. 12

1.6. Понятия устойчивости, корректности постановки задач и сходимости численного решения. 13

1.7. Некоторые обобщенные требования к выбору численных методов. 14

Раздел 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений. 15

2.1. Основные понятия и определения. 15

2.2. Методы решения СЛАУ.. 16

2.2.1. Прямые методы решения СЛАУ.. 17

1. Правило Крамера. 17

2. Метод обратных матриц. 17

3. Метод Гаусса. 17

4. Модифицированный метод Гаусса. 19

5. Метод прогонки. 25

6. Метод квадратного корня. 27

2.2.2. Итерационные методы решения СЛАУ.. 32

1. Метод простой итерации. 34

2. Метод Зейделя. 38

2.3. Вычисление определителей высоких порядков. 40

2.4. Вычисление обратных матриц. 41

2.5. Применение метода итераций для уточнения элементов обратной матрицы 43

Раздел 3. Численное решение нелинейных уравнений. 44

3.1. Постановка задачи. 44

3.2. Отделение корней. 45

3.2.1. Метод половинного деления. 45

3.2.2. Графическое отделение корней. 47

3.3. Итерационные методы уточнения корней. 47

3.3.1. Метод простой итерации. 47

3.3.2. Метод Ньютона (касательных) 49

3.3.3. Метод секущих. 50

3.3.4. Метод деления отрезка пополам. 51

3.3.5. Метод хорд. 53

3.4. Общий алгоритм численных методов решения нелинейных уравнений. 54

Раздел 4. Решение систем нелинейных уравнений. 56

4.1. Постановка задачи. 56

4.2. Метод простой итерации. 56

4.2.1. Условия сходимости метода простой итерации для нелинейных систем уравнений второго порядка. 57

4.2.2. Общий случай построения итерирующих функций. 59

4.3. Метод Ньютона для систем двух уравнений. 60

4.4. Метод Ньютона для систем n -го порядка с n неизвестными. 61

Раздел 5. Аппроксимация функций. 63

5.1. Постановка задачи. 63

5.2. Интерполирование функций. 64

5.3. Типовые виды локальной интерполяции. 65

5.3.1. Линейная интерполяция. 65

5.3.2. Квадратичная (параболическая) интерполяция. 66

5.4. Типовые виды глобальной интерполяции. 67

5.4.1. Интерполяция общего вида. 67

5.4.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа. 68

1. Формула Лагранжа для произвольной системы интерполяционных узлов. 68

2. Полином Лагранжа на системе равноотстоящих интерполяционных узлов. 69

5.4.3. Интерполяционный многочлен Ньютона. 69

1. Интерполяционный многочлен Ньютона для системы равноотстоящих узлов. 71

2. Интерполяционный многочлен Ньютона для системы произвольно расположенных узлов 74

3. Локальная интерполяция. 75

4. Глобальная интерполяция. 76

5.5. Сплайны.. 79

5.6. Сглаживание результатов экспериментов. 82

5.7. Вычисление многочленов. 84

Раздел 6. Численное интегрирование. 85

6.1. Постановка задачи. 85

6.1.1. Понятие численного интегрирования. 85

6.1.2. Понятие точной квадратурной формулы.. 87

6.2. Простейшие квадратурные формулы.. 87

6.2.1. Формула прямоугольников. 88

6.2.2. Формула трапеций. 89

6.2.3. Формула Симпсона. 89

6.3. Составные квадратурные формулы с постоянным шагом. 91

6.3.1. Составная формула средних. 91

6.3.2. Формула трапеций. 92

6.3.3. Формула Симпсона. 92

6.4. Выбор шага интегрирования для равномерной сетки. 95

6.4.1. Выбор шага интегрирования по теоретическим оценкам погрешностей 95

6.4.2. Выбор шага интегрирования по эмпирическим схемам. 96

1. Двойной пересчет. 96

2. Схема Эйткина. 97

3. Правило Рунге. 97

4. Другие оценки погрешности. 97

6.5. Составные квадратурные формулы с переменным шагом. 98

6.6. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности (формула Гаусса) 100

Раздел 7. Численное дифференцирование. 102

7.1. Постановка задачи. 102

7.2. Аппроксимация производных посредством локальной интерполяции. 102

7.3. Погрешность численного дифференцирования. 103

7.4. Аппроксимация производных посредством глобальной интерполяции. 105

7.4.1. Аппроксимация посредством многочлена Ньютона. 105

7.4.2. Вычисление производных на основании многочлена Лагранжа. 108

7.5. Метод неопределенных коэффициентов. 109

7.6. Улучшение аппроксимации при численном дифференцировании. 111

Раздел 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 112

8.1. Постановка задачи. 112

8.2. Задача Коши для ОДУ.. 114

8.3. Численные методы решения задачи Коши. 116

8.3.1. Одношаговые методы решения задачи Коши. 116

1. Метод Эйлера. 116

2. Метод Эйлера с пересчетом.. 118

3. Метод Эйлера с последующей итерационной обработкой. 119

4. Метод Рунге-Кутта. 121

8.3.2. Многошаговые методы решения задачи Коши. 122

1. Семейство методов Адамса. 123

2. Многошаговые методы, использующие неявные разностные схемы.. 123

3. Повышение точности результатов. 124

ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

ВВЕДЕНИЕ