Теоретичні відомості. Рівняння вигляду є параболічне диференційне рівняння з частинними похідними, яке описує процеси теплопровідності та дифузії

Рівняння вигляду є параболічне диференційне рівняння з частинними похідними, яке описує процеси теплопровідності та дифузії. В цьому рівнянні , задає температуру в будь-якій точці стрижня довжиною в момент часу . Будемо вважати, що , цього завжди можна досягти зміною змінних.

Для однозначного задання процесу теплопровідності потрібно задати граничні умови, які задають теплові режими на кінцях стрижня, та початкову умову, що задає розподіл температури в момент часу . Така задача називається змішаною крайовою задачею для рівняння теплопровідності.

В загальній постановці задача виглядає наступним чином:

; (1)

; (2)

; (3)

; (4)

(2-3) – граничні умови, (4) – початкова умова.

Таким чином область, де шукаємо рішення є напівсмуга . зрозуміло, що повинні виконуватись умови узгодження:

.

Замінимо задачу (1-4) її кінцево-різницевим аналогом (дивись формули (2) лабораторної роботи № 6):

; (1^/)

(2^/)

(3^/)

(4^/)

Таким чином умови (1^/-4^/) задають значення функції на кордоні області . Позначимо і приведемо рівняння (1^/) до вигляду:

(5)

Для спрощення користування формулою (5) використовуємо трафарет (рис. 3):

Рисунок 3 – Трафарет

За допомогою формули (5), або трафарету, спираючись на значення функції у вузлах сітки на попередньому прошарку, знаходимо значення функції у вузлах наступного прошаку. Ітераційний процес починаємо, спираючись на відомі значення на нульовому прошарку (4^/).

Процес розв’язання за цією схемою збігається і є стійким, якщо , тобто, якщо , що потребує дуже дрібного кроку за часом. Це є недоліком запропонованого методу.

Індивідуальні завдання

Використовуючи метод сіток, знайти функцію , яка є рішенням змішаної задачі для рівняння теплопровідності:

;

– гранична умова;

– гранична умова;

– початкова умова;

.

Крок по вибрати самостійно, але не менш ніж , величину – також обрати самостійно.

Передбачити графічний вивід розподілу температур у стрижні для довільного фіксованого значення .

Побудувати графіки розподілу температур при. .

Таблиця 9 – Варіанти завдань

№ варіанту
			0, 3624
	ч		0, 960
			1, 2
			0, 932
			2, 52
			0, 354
			0, 680
			0, 6446
			1, 36
			0, 9
			0, 84
			0, 3075
			1, 26
			0, 1205
			0, 72
			0, 4065
			1, 705
			0, 4618
			0, 932

Продовження таблиці 9

			0, 94
			1, 2
			0, 532
			2, 78
			0, 485
			0, 581