Теоретичні відомості. Чисельні методи обчислення визначеного інтегралу ґрунтуються на його визначенні та геометричній інтерпретації

Чисельні методи обчислення визначеного інтегралу ґрунтуються на його визначенні та геометричній інтерпретації. З геометричної точки зору визначений інтеграл

є площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції та прямими .

Розділимо відрізок на рівних частин довжиною . Надалі будемо називати шагом чисельного методу.

.

Тоді координати кінців відрізків поділу визначаються за формулою:

,

де . Через кожну точку поділу проведемо пряму паралельно осі , тим самим криволінійну трапецію розіб’ємо на частинних криволінійних трапецій.

Найпростіші чисельні методи наближеного обчислення визначеного інтегралу це метод лівих прямокутників та метод правих прямокутників.

(А): Метод лівих прямокутників одержуємо, коли площу кожної -тої частинної криволінійної трапеції замінимо на прямокутник, ширина якого , висота дорівнює значенню функції (надалі це значення будемо позначати ).

Розрахункова формула має вигляд:

.

Для організації циклу, краще використати її аналог

. (1)

(Б): Метод правих прямокутників одержуємо коли площу кожної -тої частинної криволінійної трапеції замінимо на прямокутник, ширина якого , висота дорівнює значенню функції на правому кінці частинної криволінійної трапеції.

Розрахункова формула має вигляд:

.

Для організації циклу краще використати її аналог

. (2)

(В): Метод трапецій. Маємо площу кожної -тої трапеції з висотою та основами .

Розрахункова формула має вигляду:

.

Для організації циклу краще використовувати її аналог

. (3)

Зауваження: якщо врахувати результати лабораторної роботи 1, то формулу трапеції ми одержуємо заміною функції кусочно-лінійною інтерпретацією з послідуючим інтегруванням.

(Г): Метод парабол (формула Сімпсона). Більш висока точність обчислення інтегралів забезпечується при виконанні кусочно-парабалічної інтерпретації підінтегральної функції , при цьому відрізок інтегрування розбивається на парне число відрізків з кроком

.

При цьому беремо три точки (вузли інтерполяції). Почнемо з . Здійснюємо локальну квадратичну інтерполяцію (дивись лабораторну роботу 1) і беремо інтеграл. Тоді площа під параболою на відрізку дорівнює

.

Беремо наступну пару відрізків і повторимо попередні обчислення:

.

Продовжуючи обчислення, знайдемо наближено інтеграл над останньою парою відрізків :

.

Шукане наближення значення інтегралу на відрізку одержимо коли визначимо суму площин всіх параболічних сегментів

.

Після деяких перетворень одержимо формулу Сімпсона

.

Більш зручною для програмування є формула

. (4)

Оцінка похибки

Похибкою чисельного методу (зокрема обчислення інтегралу) є , але ми точне значення ніколи не знаємо, тому похибку потрібно оцінити зверху.

Оцінкою похибки називають досить мале число , таке, що , при цьому кажуть, що інтеграл обчислено з точністю .

Зрозуміло, що похибка залежить від точності чисельного методу та від числа частинних відрізків , на яке розбивають відрізок інтегрування .

Доведено, що похибка методів лівих та правих прямокутників пропорційна , або . Це записують так .

Похибка методу трапеції .

Похибка методу Сімпсона .

Ці похибки відповідно називають похибками нульового, першого, другого та третього порядку.

Звичайно відрізок розбивають на таку кількість частинних відрізків, щоб забезпечити необхідний порядок або оцінку похибки.

Існують більш складні, але більш конкретні оцінки похибки, а саме:

- для методу трапецій

, (5)

де – друга похідна функції .

- для методу Сімпсона

, (6)

де – четверта похідна функції .

На практиці часто для досягнення заданої точності використовують метод подвійних перерахунків. Обчислення інтегралу починають для невеликих , а потім число відрізків, на яке розбивають , подвоюють, умовою виходу з циклу є:

. (7)

Індивідуальні завдання:

1) Обчислити інтеграл запропонованими двома методами (табл. 2).

2) Забезпечити в першому методі заданий порядок похибки.

3) В другому методі забезпечити задану оцінку похибки.

4) Порівняти результати.

Таблиця 2 – Варіанти завдань

№ варіанту	Інтеграл	Метод	Порядок похибки	Оцінка похибки
		А, В	0, 01	0, 001 (за формулою (7))

Продовження таблиці 2

		Б, Г	0, 001	0, 01
		А, Г	0, 0001	0, 001
		Б, В	0, 01	0, 0001
		Б, Г	0, 001	0, 01
		В, Г	0, 001	0, 0001 (за формулою (7))
		А, В	0, 01	0, 0001
		А, Г	0, 001	0, 01
		Б, В	0, 0001	0, 01
		Б, Г	0, 01	0, 0001 (за формулою (7))
		В, Г	0, 001	0, 01
		А, В	0, 0001	0, 01
		А, Г	0, 01	0, 0001 (за формулою (7))
		Б, В	0, 001	0, 01
		Б, Г	0, 0001	0, 01
		В, Г	0, 01	0, 0001 (за формулою (7))
		А, В	0, 001	0, 01
		А, Г	0, 001	0, 01
		Б, Г	0, 0001	0, 01

Продовження таблиці 2

		В, Г	0, 01	0, 0001
		А, В	0, 001	0, 01
		А, Г	0, 0001	0, 01
		Б, В	0, 01	0, 001
		Б, Г	0, 001	0, 01
		В, Г	0, 0001	0, 01