Теоретичні відомості. В звичайних диференційних рівняннях невідома функція залежить від однієї змінної

В звичайних диференційних рівняннях невідома функція залежить від однієї змінної. Такими рівняннями можна описати лише невелику кількість процесів з фізики та інших наук.

В більшості диференційних рівнянь невідома функція залежить від багатьох змінних (звичайно це час та просторові координати ). Такі диференційні рівняння будемо називати рівняннями з частинними похідними.

Найчастіше, це рівняння другого порядку, так як згідно з законами механіки перша похідна – швидкість, друга – прискорення.

Позначимо , тоді лінійне диференційне рівняння з частинними похідними другого порядку можна записати у вигляді

(1)

де – константи;

– невідома функція.

Рівняння виду (1) підрозділяють на три класи:

1) Якщо , то рівняння належить до класу еліптичних рівнянь.

Еліптичними рівняннями описують різноманітні електричні, магнітні та гравітаційні поля (в цьому випадку, звичайно, замість застосовують позначення ).

2) Якщо , то рівняння належить до класу гіперболічних рівнянь.

Гіперболічними рівняннями описують процеси коливань.

3) Якщо , то рівняння належить до класу параболічних рівнянь.

Параболічними рівняннями описують процеси розповсюдження тепла (теплопровідності) та дифузійні процеси.

Найбільш розповсюдженим методом розв’язку диференційних рівнянь з частинними похідними є метод сіток.

Сутність методу сіток полягає у тому, що область, в якій шукають рішення прямими, котрі паралельні осям координат, розбивають на сітку. Вузлами цієї сітки є точки , де – відповідно крок по осям та , .

Невідому функцію відшукують наближено у вузлах сітки.

Позначимо .

Частинні похідні у вузлах сітки замінюють кінцево-різницевими співвідношеннями

;

;

;

. (2)

Зупинимось більш детально на методі сіток для розв’язання гіперболічного рівняння коливань струни.

Розглянемо фізичну задачу. Є струна довжиною , натягнута між двома точками осі . Якщо відхилити струну від положення рівноваги та відпустити, то вона почне коливатися (рис. 1). Ми опишемо процес коливань, коли знайдемо функцію величини відхилення струни від положення рівноваги в точці в момент часу .

Рисунок 1 – Коливання струни

Відхилення струни описується диференційним рівнянням

.

Постійна враховує фізичні характеристики струни. Заміною змінних ми можемо досягти виконання умови . Для однозначного задання процесу коливань потрібно задати граничні умови, які задають режим коливань на кінцях струни, початкові умови, що задають форму струни в момент часу та початкову швидкість. Така задача називається змішаною крайовою задачею.

В загальній постановці крайова задача має вигляд:

; (3)

; (4)

; (5)

; (6)

. (7)

(4-5) – граничні умови, (6-7) – початкові умови.

Таким чином область, де шукаємо рішення є напівсмуга . Зрозуміло, що повинні виконуватись умови узгодження:

.

Замінимо задачу (3-7) її кінцево-різницевим аналогом:

; (3^/)

(4^/)

(5^/)

(6^/)

. (7^/)

Таким чином умови (4^/-6^/) задають значення функції на кордоні області .

За допомогою умови (7^/) відшукуємо значення в першому прошарку

.

Таким чином значення функцій на нульовому та першому прошарку відомі. Позначимо і приведемо рівняння (3^/) до вигляду:

(8)

Для спрощення користування формулою (8) використовуємо трафарет (рис. 2).

За допомогою (8) (трафарету) (рис. 2), спираючись на відомі значення функції у вузлах сітки на попередніх двох прошарках, знаходимо значення у вузлах наступного прошарку.

Рішення різницевої задачі (3^/-7^/) рівномірно сходиться до рішення вихідної крайової задачі (3-7) при , якщо , тобто .

Рисунок 2 - Трафарет

Ця умова є достатньою для збіжності методу, але не є необхідною.

Індивідуальні завдання

Використовуючи метод сіток знайти функцію у вузлах сітки, яка є чисельним розв’язком змішаної крайової задачі для рівняння коливань струни:

;

– гранична умова;

– гранична умова;

– початкова умова;

– початкова умова.

В області , вибираючи відповідні дані з таблиці 9.

Побудувати:

1) форму струни в момент часу ;

2) графіки положення точок струни для .

Таблиця 8 – Варіанти завдань

Номер варіанту			Граничні умови	Початкові умови
	0, 1	0, 05
	0, 05	0, 025
	0, 1	0, 025
	0, 2	0, 05
	0, 1	0, 05

Продовження таблиці 8

	0, 05	0, 025
	0, 1	0, 025
	0, 2	0, 05
	0, 1	0, 05
	0, 1	0, 025
	0, 2	0, 1
	0, 05	0, 025
	0, 1	0, 025
	0, 2	0, 05
	0, 1	0, 025
	0, 05	0, 025
	0, 1	0, 025
	0, 05	0, 025
	0, 1	0, 05
	0, 1	0, 025
	0, 2	0, 025
	0, 1	0, 05
	0, 1	0, 025
	0, 1	0, 05	0, 5
	0, 05	0, 025		1, 5