Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности
|
|
Dyi= 
, где
Абсолютная погрешность находится с помощью равенства
| 
-y(xi) |» 
| - yi |, i=1, 2, …, n.
Контрольные вопросы
1. Каковы условия существования и единственности решения задачи Коши?
2. К какой группе методов относится метод последовательных приближений решения задачи Коши?
3. Как формулируется задача численного интегрирования дифференциального уравнения?
4. Какой способ оценки точности используется при численном интегрировании дифференциальных уравнений методами Рунге-Кутта?
Задание № 1. Найти три итерации по методу последовательных приближений решения задачи Коши
Оценить погрешность y 3 (x) в множестве 
Варианты задания 1 приводятся в таблице 8.
Таблица 8
| Вари анты | f (x, y) | x0 | y0 | a | b | Вари анты | f (x) |
| xy 2- x 2 | 0, 7 | 4, 5 | 1, 5 | x 2 y +1 | |||
| 4 x -3 y 2 | 0, 8 | 3, 5 | x 2 y 2 +0, 2 | ||||
| 4, 1 x - y 2+0, 1 | 3, 4 | 1, 5 | 0, 1 x 2 y +2, 9 | ||||
| x +2, 3 y 2+2 | 0, 9 | 1, 5 | 1, 5 | 0, 5 xy +2, 5 | |||
| x 2 y | 1, 1 | 0, 9 | 1, 9 | 2 xy 2 - x 2 | |||
| x 2 y 2 | 1, 9 | 1, 7 | 4, 4 x -3 y 2 | ||||
| 0, 1 x 2 y +0, 9 | 0, 5 | 5, 2 x - y 2 +0, 1 | |||||
| x 2+0, 5 y 2 | 0, 3 | 0, 7 | 1, 2 | 0, 1 x 3 y +2 x | |||
| 3, 2 x 2+ y 2 | 3, 5 | 2, 5 | 3 x 2 y | ||||
| 0, 5 xy +2 | 0, 1 | 0, 5 | 2, 6 | 2 x +2, 3 y 2 | |||
| x 3 y +2 x | 0, 5 | 1, 5 | x 2+0, 8 y 2 | ||||
| 2 xy + x 3 | 0, 5 | 0, 5 | x 3 y +3 x | ||||
| x 3 y 2 +0, 5 x 2 | 0, 3 | 1, 5 | 0, 5 | 3 xy + x 3 | |||
| 0, 5 x 3 y 2 +3 x | 2 x 3 y 2+ x 2 | ||||||
| 4, 4 x 4+0, 2 xy | -1 | -2 | 0, 4 | 1, 6 | 2, 1 y- (x +1)3 |
Задание № 2. Методом Эйлера-Коши и методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности проинтегрировать задачу Коши на отрезке [ x 0, x 10] с шагом h и шагом 
. Оценить погрешность.
Варианты задания 2 приводятся в таблице 9.
Указания к выполнению заданий
Задание № 1. Сначала проверить выполнимость условий теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши, найти значения констант M, N и d, которые используются для оценки погрешности.
Таблица 9
| Варианты | f (x, y) | x0 | y0 | h | Вари анты | f (x, y) | x0 | y0 | h |
| xy 3 - x 2 | 0, 7 | 0, 01 | x + cos 
| -2 | 0, 01 | ||||
 -3 y 2
| 2, 6 | 1, 8 | 0, 02 |  +1
| 2, 9 | 0, 02 | |||
| cos (1, 5 x - y 2)-1, 3 | -1 | 0, 2 | 0, 02 | sin (x + y)+1, 5 | 1, 5 | 0, 5 | 0, 01 | ||
| x 2+ xy + y 2 | 1, 2 | 0, 01 | x 2+0, 5 y 2 +3 | 2, 1 | 0, 01 | ||||
 +2 x
| 0, 3 | 0, 05 | 1, 8- sin (x + y)2 | 2, 1 | 2, 5 | 0, 01 | |||
| cos (1, 5 y + x)2 +1, 4 | 0, 9 | 0, 01 | 0, 5 y (1-0, 5 x) | 0, 01 | |||||
| 4, 1 x - y 2 +0, 6 | 0, 6 | 3, 4 | 0, 02 |  -0, 4
| 1, 7 | 0, 02 | |||
 +2 y
| 1, 5 | 2, 1 | 0, 05 | 0, 1 y 2(2- x 2 ) | 0, 2 | 1, 3 | 0, 01 | ||
x + cos 
| 2, 1 | 2, 5 | 0, 01 |  +3 x 2
| 0, 5 | 0, 3 | 0, 05 | ||
 -0, 4
| 1, 7 | 0, 02 |  +1
| 0, 1 | 2, 5 | 0, 02 | |||
| 2, 5 x + cos (y +0, 6) | 1, 5 | 0, 02 | sin (x 2+1, 1 y)+2 | 1, 7 | 0, 6 | 0, 01 | |||
| x +2, 5 y 2 +2 | 0, 9 | 0, 01 |  +2 y
| 1, 5 | 2, 1 | 0, 05 | |||
| 2- sin (x + y)2 | 2, 3 | 0, 01 | cos (2 x - y 2)-1, 5 | 1, 2 | 0, 4 | 0, 02 | |||
 + x +1
| 0, 1 | 1, 2 | 0, 05 |  -2 y 2
| 2, 5 | 1, 5 | 0, 02 | ||
| -2 | 0, 5 | 0, 02 | 
| -1 | 1, 6 | 0, 01 |
Задание № 2. Вычисления записать в таблице. Например, для метода четвертого порядка точности таблица имеет вид:
| i | xi | yi | k1(i) | k2(i) | k3(i) | k4(i) | D yi | yi * | k1(i) * | k2(i) * | k3(i) * | k4(i) * | D yi * |
причем в первой половине таблицы записываются вычисления с шагом h, а во второй – с шагом .
Литература
1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. – М.: Высш. шк., 2002. – 840 с.
2. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы. – М.: Просвещение, 1991.
3. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. – 664 с.
4. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука, 1989. – 432 с.
5. Пулькин С.П., Никольская Л.Н., Дьячков А.С. Вычислительная математика: Учебное пособие для студентов-заочников V курса физико-математических факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1980. – 176 с.
6. Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1987. – 248 с.
7. Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях. Учеб. пособие. – М.: Высш. школа, 2000. – 400 с.
8. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы. – М.: Наука, 1987. – 598 с.
9. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. – М.: Наука, 1967.
Содержание
Программа курса. 3
лабораторная работа 1. 4
лабораторная работа 2. 9
лабораторная работа 3. 13
лабораторная работа 4. 19
лабораторная работа 5. 22
лабораторная работа 6. 26
литература. 30
Лабораторный практикум
по курсу
«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
|
|